有限元分析-03

第3章空间问题有限元法实际上工程中，大部分结构形状复杂，须按照空间问题分析，不能简化为平面问题。弹性力学对于空间问题尤其是不规则体，往往无能为力，有较大的近似。有限元方法具有优势，选用位移模式时，只需要求阶连续性，即位移在单元之间连续即可；空间单元与平面单元一样容易构造。0c3.1四面体四节点单元空间体中，最简单的几何体应该为四面体，弹性体可以无限制地离散为若干四面体。四面体单元中最简单的是四节点单元，一种常应变单元。考虑任一四面体单元：Ⅰ、取四面体的4个角点为节点，节点编号：，右手法则排序。空间问题中，每一节点有3个位移分量。lmji,,,iiiiwvu单元的节点位移列阵可按节点号分块：(3.1)单元内的位移模式，为满足完备性条件，至少应取为坐标的线性函数；单元共12个节点位移分量，而线性位移函数亦为12个待定系数，刚好可由节点位移分量位移描述。位移模式即可由单元节点位移的插值函数构成：(3.2)Tlmjiezayaxaawzayaxaavzayaxaau121110987654321矩阵形式：(3.3)分别将节点位移、节点坐标代入，azyxwvu1Taaaa122143211111aaaazyxzyxzyxzyxuuuulllmmmjjjiiilmjiueaAu~得到，求逆矩阵后，即可由替换，(3.4)按节点分块，(3.5)wvueaaaAAAwvu~~~aeeNwvuflmjilmjilmjiNNNNNNNNNNNNN000000000000000000000000ININININNlmji其中为3阶单位矩阵同样引入矩阵：(3.6)四面体体积为(节点编号按右手系顺序，其体积恒为正值)：各节点的形函数可以表示为：(3.7)Illlmmmjjjiiizyxzyxzyxzyx111161V轮换轮换ljzdycxbavNmizdycxbavNjjjjjiiiii,61,61分别为中第一行各列元素对应的代数余子式，同三角形单元中描述雷同，如：则为第二行各列元素对应的代数余子式，余类推。iiiidcba,,,lllmmmjjjizyxzyxzyxannmmjjizyzyzyb111nnmmjjizxzxzxc111nnmmjjiyxyxyxd111jjjjdcba,,,检验：对任一节点形函数，其它节点坐标代入均将导致，仅节点本身的坐标代入时；收敛性：位移函数是线性的，包含有常数和线性项，即含有刚体位移，常应变，满足完备性条件；位移为线性函数，在单元内自然连续；在单元之间的交界面上，位移仍线性变化，可由节点位移唯一确定，所以位移在两单元之间的交界面连续。具有阶连续性，为协调单元。iN0iN1iN141iN0cⅡ、应变应力空间中每一节点有6个应变分量：(3.8)eeNxzyzxyzyx000000000eeB按节点分块,(3.9)所有均由节点坐标构成，为一常量，为常量矩阵，单元内的应变为常应变分布。lmjiBBBBBrrrrrrrrrrbdcdbcdcbvB00000000061lmjir,,,rrrdcb,,B单元内的应力：(3.10)单元内的应力亦为常应变分布。Ⅲ、单元刚度矩阵单元节点力与节点位移之关系，同样可以由虚位移原理导出。虚位移原理：当单元在节点力作用下处于平衡状态，给定单元一约束条件所允许的任意小的虚位移时，节点力在虚位移上所作之功就等于单元内应力在相应虚应变上所作之功。eeBD可导出相应的有限元方程：(3.11)其中，(3.12)由虚功原理将外载荷转换为节点处的等效节点载荷（等效节点力），考虑体积力、面力、集中力(3.13)ekPdBDBkTeQXqFFNdAqNdXNQTTTe讨论：•四面体单元与前述三角形单元的推导过程完全相似，尤其形函数的表述很相似，二者均为常应变单元；•在三角形单元中，可以引入面积坐标，从而建立高精度单元；在四面体单元中，是否可引入体积坐标？建立高精度的如线性应变的四面体单元？•在商业软件中，由CAD、ProE等转换到有限元软件的前处理程序中，一般只能自动生成4面体单元，包括4节点，10节点等多种单元。3.2六面体单元空间问题中常采用六面体单元，如长方体（正方体）单元。取其8个角点为节点，每一节点3个自由度，则单元有24个自由度。同样，可引入局部坐标系，以简化运算。,,关键问题在于位移模式的选取：U函数中，除了线性项，常数项外，可取，，3项。还需引入一项，这里考虑了几何各项同性，取8项含8个待定系数，可由单元节点位移唯一确定。同理，对V、W位移函数可取相同类型。令：8节点的长方体单元的形函数：(3.14)(3.15),,0Ai0i0i000011181iNeNwvuf3.3轴对称问题定义：几何形状对称于某一固定轴；约束条件和外载荷都对称于这一固定轴；结构的位移、应变、应力都将对称于该固定轴，则这类特殊的空间问题就称之为轴对称问题。通常采用柱坐标系描述；对称轴为轴，所有位移、应力、应变与方向无关，仅为的函数；任一点只有沿方向的径向位移、沿Z方向的轴向位移，没有环向位移。空间中的轴对称问题一般可归结为准二维问题。zzr，，zr,rzru,zrw,任一点有三个正应变、一个剪应变分量，及对应的应力分量：弹性理论中的基本方程：平衡方程(3.16)几何方程(3.17)rzzrrzzr00zrzzrzrrrzrXrzzXrzrwurzzrrrzzr0010物理方程(3.18)(3.19)由于轴对称体的变形与环向无关，单元形状就可取成圆环形，其截面可选为三角形或四边形；取角点为节点时，环单元的节点实际上为一圆周线；但所有节点力或节点等效外载荷均应理解为：在节点所在的整个圆周线的总和（不一定为合力！）；同样对节点的约束也是对整个圆周线而言。12210001111112111EDD一般只需在平面内，对结构构造单元网络即可。但是涉及到积分时，仍然需要对环单元体积作积分。3.4三节点三角形环单元各种环单元中，截面为三角形的三节点环单元为最简单。单元适应性好，计算也简单。上图表示：在平面内截面为三角形的环单元。单元节点位移：Ⅰ、位移模式仿照平面三角形单元，(3.20)与平面三角形单元的推导类似，我们可以建立形函数，得到单元内位移：(3.21)lmnrzTnnmmllewuwuwuzaraawzaraau654321NenmlINININwuf式中：为2阶单位矩阵，(3.22)为三角形环状单元截面的面积，引入zcrbaNllll21I轮换nml,,nnmmllzrzrzr11121nnmmlzrzranmlzzb11nmlrrc11检验：位移模式：满足收敛性要求的完备性条件、几何各向同性条件、且位移在单元边界上满足连续性条件。单元间的公共边界实际上为一环形面！Ⅱ、应变应力(3.23)jijiNijji01nmlji,,,1nmlNNNeenmlBBBB(3.24)(3.25)可以看到，单元内的应变分量均为为常量，但环向正应变不为常量，它与相关，即为坐标的函数。所以3节点三角形环单元不再为常应变单元！llllllbccfbB00021轮换nml,,rzcbrafllllrzzrzr,单元应力：(3.26)同样地，单元内的应力为非常应力分布！问题：当三角形环单元一边或一节点与轴心重合时（轴对称体为实心体时），对应的(3.25)中的或函数将出现奇异性。解决方案：将轴心处的单元近似处理为常应变单元。取中的均为单元形心的坐标，相对单元为一常数。eBDD,lfnmff,zr,lf即，则于是，对称轴上的单元近似为常应变单元。Ⅲ、单元刚度矩阵前面导出的单元刚度具有普遍意义，在轴对称情况下，可以适当作些简化。nmlrrrrr31nmlzzzzz31rzcbrafflllll轮换nml,,微元体积在轴对称体中，注意到环向的积分是独立的：(3.27)按节点分块：(3.28)注意：上二式的积分较平面问题要复杂的多！ddzrddrd202ddBDBkTerdrdzBDBkTe2rdrdzBDBktTsst2nmlts,,,Ⅳ、等效节点载荷单元的外载荷与其等效节点力之关系仍由虚功原理导出，其空间单元的一般表达式如（3.13）所示。在轴对称单元中，等效节点力可以写作：(3.29)FNrdsrqNdzdrrXNQTcTTe222注意：•对边界面上分布载的积分微面积为,若边界平行轴，则为，指整个环形面。所以分布载应该沿整个环向！•为集中载作用点处的径向坐标，集中载应该沿整个环向。其环向分布的积分，即为平面内的一点之积。•上述计算的等效节点力，实际上是外载沿节点所代表的整个圆周上的分布的总和。应注意到，这时难以象平面问题中那样通过静力等效方法求解等效节点力。qdsrdzdzrdCrFNrTc2zr分项讨论：体积力A、自重：设对称轴垂直于地面，重力只有向分量，物体密度，重力加速度为，则单位体积重力为。体积分布力：利用面积坐标(2.51)，等效节点力：zzgggXXXzr0nnmmllLrLrLrrdzdrrXNQTXl2llLN则，当单元离对称轴较远，dzdrrgNQQllzlr02drdzLrLrLrgLQQnnmmllllzlr02lrrg360轮换nml,,nmlrrrr320rgQQlzlrB、离心力：绕轴的旋转角速度为，离心力为：02rgXXzrdrdzLrLrLrLgQQnnmmllllzlr220202915222nmlrrrrg面积力设单元边有均布压力mn0qcossin00qqqqqzrmnmnmnnmlrrlzzq0