有限元分析_第二讲_杆单元

2杆单元一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵jiuud单元节点位移：L—杆长A—截面积E—弹性模量考虑一个2节点一维等截面杆单元：jifff单元节点力：（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：ijuu应力—应变关系：dxduE)()()(xxxuu——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：应变：L应力：LEE杆内力：kLEALEAAF杆的轴向刚度：LEAk轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk（二）公式法导出杆单元特性1、单元上假设近似位移场——位移模式单元上位移假设为简单多项式函数：01()uxaax用插值法把多项式中的待定系数转化为节点位移从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模式如下：01,aa()()()iijjuxNxuNxu()1()ijxNxLxNxL上式中：形函数。中称为形状函数，简称是插值基函数，有限元jiNN,单元位移模式写成矩阵形式：NdjijiuuNNu()()()iijjuxNxuNxu注意：采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量，对应2个多项式系数。称为单元形函数矩阵。,jiNNN式中2、单元应变：BddNdxddxdu——单元应变矩阵B3、单元应力：BdEE4、应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。虚功原理弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。——平衡条件NdjijiuuNNuLLxNxNdxdji/1/1)()(B对于杆单元，定义虚位移如下：jiuud节点虚位移：单元虚位移：dNu节点力（外力）虚功：fdT单元虚应变能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT则单元虚应变：dB)(udxd对杆单元应用虚位移原理，得：ddBBdfdTdVEVTT考虑到的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。——杆单元刚度矩阵对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：则：所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）３）单元刚度矩阵性质：对称、奇异、主对角元素恒正。01jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211单元刚度方程（四）举例例1求图示２段杆中的应力。解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。各单元的刚度矩阵分别为：参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方程（平衡方程）如下：321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：则系统平衡方程化为：31200110132022FPFuLEA上述方程组中删除第１，３个方程，得到：解得：位移解：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA单元2应力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。BdEE例2：已知：求：杆两端的支反力解二、二维空间中的杆单元（平面桁架单元）（一）2-D空间中杆单元1-D空间杆单元2-D空间杆单元坐标变换原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系局部总体每节点一个dof每节点2个dof）（，iivuiivu,)(,yx节点位移向量的坐标变换：iidTd~YX,向量的坐标变换矩阵为：lmmlT~T~~TT1显然是正交阵，即：单元节点位移向量的变换式如下：或TddT00TT~~单元节点力的变换为：Tff刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：扩充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：利用前面的向量坐标变换式，得：TfTdk考虑到变换矩阵的正交性，得：TddTfffTdkTT总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：TkTkT用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。TfTdkfkd单元应力：即：（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：单元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu单元2：2-32222135ml，，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：再引入边界约束和载荷：则上面6阶有限元方程凝聚为：212220022PPvuLEA解出未知位移得：2122PPEALvu按公式计算杆应力：得：)(220011112221211PPAPPEALLE)(220011112221212PPAPPEALLE