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有限元分析中的单位问题葛颂（浙江大学化机所）2004年11月版摘要：本文在前人基础上对使用有限元软件分析工程问题时的材料性能单位问题作了一些探讨，通过实例说明了如何统一各物理量的单位，以保证分析结果的正确。关键词：有限元、单位大多数有限元计算程序都不规定所使用的物理量的单位，不同问题可以使用不同的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一就可以。但是，由于在实际工程问题中可能用到多种不同单位的物理量，如果只是按照习惯采用常用的单位，表面上看单位是统一的，实际上单位却不统一，从而导致错误的计算结果。比如，在结构分析中分别用如下单位：长度–m；时间–s；质量–kg；力-N；压力、应力、弹性模量等–Pa，此时单位是统一的。但是如果将压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位就是不统一的；或者同时将长度单位改为mm，压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位也是不统一的。由此可见，对于实际工程问题，我们不能按照手工计算时的习惯来选择各物理量的单位，而是必须遵循一定的原则。物理量的单位与所采用的单位制有关。所有物理量可分为基本物理量和导出物理量，在结构和热计算中的基本物理量有：质量、长度、时间和温度。导出物理量的种类很多，如面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等等，都与基本物理量之间有确定的关系。基本物理量的单位确定了所用的单位制，然后可根据相应的公式得到各导出物理量的单位。具体做法是：首先确定各物理量的量纲，再根据基本物理量单位制的不同得到各物理量的具体单位。基本物理量及其量纲：质量m;长度L;时间t;温度T。导出物理量及其量纲：速度：v=L/t;加速度：a=L/t2;面积：A=L2;体积：V=L3;密度：ρ=m/L3;力：f=m·a=m·L/t2;力矩、能量、热量、焓等：e=f·L=m·L2/t2;压力、应力、弹性模量等：p=f/A=m/(t2·L);热流量、功率：ψ=e/t=m·L2/t3;导热率：k=ψ/(L·T)=m·L/(t3·T);比热：c=e/(m·T)=L2/(t2·T);热交换系数：Cv=e/(L2·T·t)=m/(t3·T)粘性系数：Kv=p·t=m/(t·L);熵：S=e/T=m·l2/(t2·T);质量熵、比熵：s=S/m=l2/(t2·T);在选定基本物理量的单位后，可导出其余物理量的单位，可以选用的单位制很多，下面举两个常用的例子。1基本物理量采用如下单位制：质量m–kg；（应该采用Mg单位才统一，具体可以参考MSC.MARC中的材料库统一单位，推导）长度L–mm；时间–S；温度–K(温度K与C等价)。各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与kg-m-S单位制或一些常用单位的关系：速度：v=L/t=mm/S=10-3m/S;加速度：a=L/t2=mm/S2=10-3m/S2;面积：A=L2=mm2=10-6m2;体积：V=L3=mm3=10-9m3;密度：ρ=m/L3=kg/mm3=10-9kg/m3=10-6g/cm3;力：f=m·L/t2=kg·mm/S2=10–3kg·m/S2=mN(牛);力矩、能量、热量、焓等：e=m·L2/t2=kg·mm2/S2=10–6kg·m2/S2=µJ(焦耳);压力、应力、弹性模量等：p=m/(t2·L)=kg/(S2·mm)=103kg/(S2·m)=kPa(帕);热流量、功率：ψ=m·L2/t3=kg·mm2/S3=10–6kg·m2/S3=µw(瓦);导热率：k=m·L/(t3·T)=kg·mm/(S3·K)=10–3kg·m/(S3·K);比热：c=L2/(t2·T)=mm2/(S2·K)=10–6m2/(S2·K);热交换系数：Cv=m/(t3·T)=kg/(S3·K);粘性系数：Kv=m/(t·L)=kg/(S·mm)=103kg/(S·mm);熵：S=m·L2/(t2·T)=kg·mm2/(S2·K)=10-6kg·m2/(S2·K);质量熵、比熵：s=L2/(t2·T)=mm2/(S2·K)=10-6m2/(S2·K);2基本物理量采用如下单位制：质量m–g；长度L–µm(106m)；时间–mS(10–3S)；温度–K(K与C等价)。各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与kg-m-S单位制或一些常用单位的关系：速度：v=L/t=µm/mS=10-3m/S;加速度：a=L/t2=µm/mS2=m/S2;面积：A=L2=µm2=10-12m2;体积：V=L3=µm3=10-18m3;密度：ρ=m/L3=g/µm3=10-21kg/m3=10-12g/cm3;力：f=m·L/t2=g·µm/mS2=10–3kg·m/S2=mN(牛);力矩、能量、热量、焓等：e=m·L2/t2=g·µm2/mS2=10–9kg·m2/S2=10–9J(焦耳);压力、应力、弹性模量等：p=m/(t2·L)=g/(mS2·µm)=109kg/(S2·m)=109Pa(帕)=GPa;热流量、功率：ψ=m·L2/t3=g·µm2/mS3=10–6kg·m2/S3=10–6w(瓦);导热率：k=m·L/(t3·T)=g·µm/(mS3·K)=kg·m/(S3·K);比热：c=L2/(t2·T)=µm2/(mS2·K)=10–6m2/(S2·K);热交换系数：Cv=m/(t3·T)=g/(mS3·K)=103kg/(S3·K);粘性系数：Kv=m/(t·L)=g/(mS·µm)=106kg/(S·mm);熵：S=m·L2/(t2·T)=g·µm2/(mS2·K)=10-9kg·m2/(S2·K);质量熵、比熵：s=L2/(t2·T)=µm2/(mS2·K)=10-6m2/(S2·K);由此可见，掌握了单位之间变换的方法，就可以根据自己的需要来选择合适的单位制。更多的例子见表1。表2给出了几种单位制与kg-m-S单位制之间的换算因子1不同单位制的物理量单位序号参数名单位量纲Kg-m-s单位制Kg-mm-s单位制T-mm-s-Mpa单位制g-mm-s单位制1长度LLmMm(10-3m)Mm(10-3m)Mm(10-3m)2质量MMKgKgT(103Kg)g(10-3Kg)3时间ttssss4温度TTKKKK5面积AL2m2mm2(10-6m2)mm2(10-6m2)mm2(10-6m2)6体积VL3m3mm3(10-9m3)mm3(10-9m3)mm3(10-9m3)7力FM·L/t2N(牛)=Kg·m/s2Kg·mm/s2(10-3N)T·mm/s2(N)g·mm/s2(10-6N)8密度M/L3Kg/m3(10-3g/cm3)Kg/mm3(106g/cm3)T/mm3(109g/cm3)g/mm3(103g/cm3)9能量、焓、热量M·L2/t2J(焦耳)=N·m=Kg·m2/S2Kg·mm2/S2(10-6J)T·mm2/S2(10-3J)g·mm2/S2(10-9J)10功率、热流量m·L2/t3w(瓦)=J/S=kg·m2/S3kg·mm2/S3(10–6w)T·mm2/S3(10–3w)g·mm2/S3(10–9w)11压力、应力、模量M/(t2·L)Pa=N/m2=Kg/(s2·m)Kg/(s2·mm)(kPa)T/(s2·mm)(MPa)g/(s2·mm)(Pa)12导热率kM·L/(t3·K)J/(m·s·K)=(Kg·m/(s3·K))Kg·mm/(s3·K)(10-3Kg·m/(s3·K))T·mm/(s3·K)(Kg·m/(s3·K))g·mm/(s3·K)(10-6Kg·m/(s3·K))13比热cL2/(t2·K)J/(Kg·K)=(m2/(s2·K))mm2/(s2·K)(10-6m2/(s2·K))mm2/(s2·K)(10-6m2/(s2·K))mm2/(s2·K)(10-6m2/(s2·K))14体热源hM/(t2·L)J/m3=(Kg/(s2·m))Kg/(s2·mm)(103Kg/(s2·m))T/(s2·mm)(106Kg/(s2·m))g/(s2·mm)(1.0Kg/(s2·m))15换热系数CvM/(t3·K)J/(m2·s·K)=(Kg/(s3·K))Kg/(s3·K)(Kg/(s3·K))T/(s3·K)(103Kg/(s3·K))g/(s3·K)(10-3Kg/(s3·K))16粘性系数KvM/(L·t)Kg/(m·s)Kg/(mm·s)(103Kg/(m·s))T/(mm·s)(106g/(m·s))g/(mm·s)(1.0g/(m·s))17熵SM·L2/(t2·K)J/K=(Kg·m2/S2·K)Kg·mm2/S2·K(10-6Kg·m2/S2·K)T·mm2/S2·K(10-3Kg·m2/S2·K)g·mm2/S2·K(10-9Kg·m2/S2·K)18比熵s质量熵L2/(t2·K)J/(Kg·K)=(m2/S2·K)mm2/S2·K(10-6m2/S2·K)mm2/S2·K(10-6m2/S2·K)mm2/S2·K(10-6m2/S2·K)表2不同单位制的物理量与Kg-m-s单位制的换算因子[注]序号参数名公制单位(Kg-m-s单位)其它单位转换到Kg-m-s单位制kg-m-s单位转换到Kg-mm-s单位制kg-m-s单位转换到T-mm-s-Mpa单位制kg-m-s单位转换到g-mm-s单位制1长度LmKg-mm-s数值·10-3Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值·1032质量MKgg-cm-s数值·103Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·1033时间tsKg-mm-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.04温度TKKg-mm-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.05面积L2m2Kg-mm-s数值·10-6Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·1066体积L3m3Kg-mm-s数值·10-9Kg-m-s数值·109Kg-m-s数值·109Kg-m-s数值·1097力M·L/t2N=Kg·m/s2Kg-mm-s数值·10-3Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·1068密度M/L3Kg/m3g-cm-s数值·103g-cm-s数值·10-6g-cm-s数值·10-9g-cm-s数值·10-39能量、焓热流M·L2/t2J=Kg·m2/s2Kg-mm-s数值·10-6Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值·10910功率、热流量m·L2/t3w=kg·m2/S3Kg-mm-s数值·10-6Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值·10911压力、应力、模量M/(t2·L)Pa=Kg/(s2·m)Kg-mm-s数值·106Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·10-6Kg-m-s数值·1.012导热率M·L/(t3·K)Kg·m/(s3·K)Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·103Kg-m-s数值1.0Kg-m-s数值·10613比热L2/(t2·K)m2/(s2·K)Kg-mm-s数值·10-6Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·106Kg-m-s数值·10614体热源M/(t2·L)Kg/(s2·m)Kg-mm-s数值·103Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·10-6Kg-m-s数值·1.015换热系数M/(t3·K)Kg/(s2·K)Kg-mm-s数值·1.0Kg-m-s数值·1.0Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·10316粘性系数M/(L·t)Kg/(m·s)Kg-mm-s数值·103Kg-m-s数值·10-3Kg-m-s数值·10-6K