有限元方法ppt-02

有限元的直接法2.1有限元法的基本思路2.2直接法单元节点单位位移与节点力的关系材料力学超静定柔度法——力法刚度法——位移法单元刚度矩阵、系统总刚度矩阵2.1有限元法基本思路1区域的离散2插值多项式3单元刚度矩阵和力向量#4系统方程的建立#5引入边界条件#6有限元方程的求解7单元数据的处理2.1有限元法基本思路单元划分原则:两个节点之间的杆件构成一个单元杆件的交点杆件截面变化处支承点、自由端集中载荷作用处欲求位移处2.1有限元法基本思路绗架的力学计算简图——移置载荷ppppp241353216452.1有限元法基本思路pN6N3N4N2建立节点的平衡方程——求杆件内力NUYUX344∑FX=0∑FY=02.1有限元法基本思路一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点所能建立的平衡方程的数目。节点的位移数目，恰好等于该节点能够建立的平衡方程的数目。只要将单元节点力用节点位移表示，无论有多少个未知力，都可以通过建立以节点位移表示的节点力平衡方程求出。建立单元节点力与单元节点位移之间的关系——单元方程。2.2节点力与节点位移之间的关系——单元刚度矩阵在结构力学中，直接应用材料力学公式和结构力学公式来建立结构的单元刚度矩阵和力向量。也称为直接公式法。涉及的力学原理有：1)线性叠加原理；2)杆与梁的拉伸、扭转和弯曲公式；3)超静定结构的刚度法或柔度法；4)力系平衡。2.2节点力与节点位移之间的关系——单元刚度矩阵单元节点的单位位移与单元节点力的关系单元节点的位移与单元节点力的关系单元刚度矩阵2.2节点力与节点位移之间的关系——单元刚度矩阵lEAlEAlEAlEAKlEAulEAuFFKKuulEAulEAuFFKKuuuKuKFuKuKFuuKKKKuuKFFaaa。那么令；那么令即对于单元222122212111212111212221212212111121222112112121,10,01u1u221alxF1F22u1=1121u2=12.2节点力与节点位移之间的关系——单元刚度矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIKlEIlEIlEIlEIMQMQKKKKvvvvKKKKKKKKKKKKKKKKvvKMQMQaa46266126122646612612161261200012223232223232323221114131211221122114443424134333231242322211413121122112211，可以求得：单位并依次令仅其他位移为；，当21alv2Q2M2v1Q1M1θ1θ2材料力学超静定01超静定系统：支反力或内力不能单凭静力平衡方程式求解的结构系统。多余约束：多于维持结构的几何不变性所需的支座或杆件或自由度。pL超静定梁,B端三次超静定。BAUbx=0,Uby=0,θbz=0Fbx≠0,Fby≠0,Mbz≠0材料力学超静定02解超静定系统的一般原则：1)解除超静定系统中的多余约束，得到静定的基本系统。与多余约束相对应的未知力称为多余未知力。LBA超静定梁的基本系统：解除的多余约束Ubx,Uby,θbz对应的多余未知力Fbx,FbyMbz材料力学超静定032)将原系统上的载荷以及多余未知力加在基本系统上，称为相当系统。pBAFyFxMz超静定梁的相当系统材料力学超静定043)要使相当系统能够代替原来系统，则两者在变形情况上应完全一致。即，相当系统在多余未知力作用处的位移能够满足一定条件——符合原系统在多余约束处的变形谐调条件。Ux=0,Uy=0,θz=0材料力学超静定05线性叠加原理：pFxMzFy+++pBAFyFxMz=Ubx=0,Uby=0,θbz=0材料力学超静定06柔度法——力法D1=D1P+δ11F1+δ12F2+δ13F3+…+δ1nFnDn=DnP+δn1F1+δn2F2+δn3F3+…+δnnFn柔度方程与矩阵D1δ11δ12δ13δ14δ15…δ1nF1D1PD2δ21F2D2P=+Dnδn1δnnFnDnP柔度法——力法对于n次超静定结构，解除n个约束条件；选择对应的n个未知力F1,F2,,,Fn；将实际载荷作用在基本系统上，得到相应于n个未知力处的n个位移D1P,D2P,…,DnP。将n个未知力的单位值分别作用在基本系统上。由每个单位力，确定相应于所有n个未知力处的n个柔度δij。柔度δij：定义为由于Fj处力的单位值所引起相应于Fi力处的位移。实际位移D1,D2,…,Dn等于载荷产生的位移与未知力产生的位移之和。（位移的协调方程）柔度法——力法p2p1p4p3p2p1p4p3f1f2f3f4p2p1p4p3d1pf1=1d2pd3pd4p4次超静定系统相当系统f2=1在各约束点产生的位移f1=1在各约束点产生的位移δ11δ21δ31δ41δ12δ22δ32δ42δ13δ23δ33δ43f2=1f3=1已知力在各约束点产生的位移f3=1在各约束点产生的位移+++=柔度法——力法D1=D1P+δ11F1+δ12F2+δ13F3+…+δ1nFnDn=DnP+δn1F1+δn2F2+δn3F3+…+δnnFn柔度方程与矩阵D1δ11δ12δ13δ14δ15…δ1nF1D1PD2δ21F2D2P=+Dnδn1δnnFnDnP刚度法——位移法[K]nXn{δ}nX1={F}nX1刚度影响系数Kij:在j节点产生单位位移(uj=1)而其它节点位移为零时，需在i节点位移方向上施加的节点力的大小。如：[K]2X2{δ}2X1={F}2X1K11：在节点1产生单位位移，节点2保持不动，在节点1所需加的力。K12：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点1所需加的力。K21：在节点1产生单位位移，节点2保持不动，在节点2所需加的力。K22：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点2所需加的力。刚度法——位移法对于n次超静定结构，选择n个约束条件对应的n个未知位移δ1,δ2,,,δn；将已知载荷作用在基本约束系统上，得到相应于n个未知位移处固定端的n个F1P,F2P,…,FnP支反力。将n个未知位移的单位值单独作用在基本约束系统上。每个单位位移，确定相应于所有n个未知位移处的n个刚度系数Kij。实际载荷F1,F2,…,Fn等于已知载荷在约束点产生的力与未知位移产生的固定端的支反力之和。（力的平衡方程）刚度法——位移法p2p1p4p34次超静定系统p2p1p4p3δ1=1δ3=0δ2=0δ4=0δ1=0δ2=1δ3=0δ4=0δ1=0δ2=0δ3=1δ4=0δ1=0δ2=0δ3=0δ4=1k11k21k12k22k32k33k23k43k34k44f1pf2pf3pf4p=++++已知力在约束点处产生的合力矩约束点4处给定单位位移产生的力矩约束点3处给定单位位移产生的合力矩约束点2处给定单位位移产生的合力矩约束点1处给定单位位移产生的合力矩刚度法——位移法F1=F1P+K11δ1+K12δ2+K13δ3+…+K1nδnFn=FnP+Kn1δ1+Kn2δ2+Kn3δ3+…+Knnδn刚度方程与矩阵F1K11K12K13K14K15…K1nδ1F1PF2K21δ2F2P=+FnKn1KnnδnFnP单元节点位移与单元节点力的关系θjyxujvjθiuiviMjyxUjVjMiUiVi刚度法建单元矩阵：{F}6X1=[K]6X6{δ}2X1F1K11K12K13K14K15K16δ1F2K21K22K23K24K25K26δ2F3=K31K32K33K34K35K36δ3F4K41K42K43K44K45K46δ4F5K51K52K53K54K55K56δ5F6K61K62K63K64K65K66δ6两节点(6个自由度)平面杆件单元的刚度矩阵一般型式单元节点位移与单元节点力的关系单元节点单位位移与节点力的关系ui=1uj=1UiUjUi=EA/LUj=EA/LUj=-EA/LUi=-EA/L产生单位位移ui=1,uj=1，需要施加的力单元节点单位位移与节点力的关系产生单位位移vi=1,vj=1，需要施加的力Vi=1Vj=1MjMiθi=0θj=0ViVjMi=6EI/L2Vi=12EI/L3Mj=-6EI/L2Vj=12EI/L3Mi=-6EI/L2Vi=-12EI/L3Vj=-12EI/L3Mj=6EI/L2单元节点单位位移与节点力的关系Vj=0θj=1Vi=0θi=1MiViMjVj产生单位位移θi=1,θj=1，需要施加的力Mi=4EI/LVi=6EI/L2Vj=-6EI/L2Mj=2EI/LMj=4EI/LVj=-6EI/L2Mi=2EI/LVi=6EI/L2单元刚度矩阵jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMVUMVU460260612061200000260460612061200000222323222323单元刚度矩阵特性单元刚度矩阵元素取决于该单元的形状、大小和材料，与位置无关，与位移模式有关。对称性，Kij=Kji。互等定理：j处单位位移给出i处节点力，等于i处单位位移给出j处节点力。单元刚度矩阵是奇异的。由于①节点位移中包含单元的刚体位移②单元在两个节点力的作用下处于平衡。∑FX=0∑FY=0∑MZ=02.2.3坐标变换目的：将不同局部坐标方向上的单元节点力（或位移）变换到同一整体坐标系oxy方向上，以便建立节点平衡方程单元坐标变换矩阵：单元节点位移坐标变换式：δe=Tδ’e单元节点力坐标变换式：Fe=TF’e1000cossin00sincos10000cossin0sincos00T2.2.3坐标变换P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a)平面刚架(b)单元、节点编号与整体、局部坐标（有限元直接法例题1—坐标变换）UYUX2.2.4等效节点载荷所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。静力等效原则。只需给出载荷作用下两端固定梁的固端反力公式，将固端反力前加一负号即为等效节点载荷。2.2.4等效节点载荷一、局部坐标内等效节点荷载的计算--单元固端反力的计算公式以F0e=(Uoi,Voi,Moi,Uoj,Voj,Moj)T表示非节点荷载引起的两端固定梁的固端反力（如下图所示），则下述荷载的固端反力计算公式为：lclgcMlclcgcMVgcVlclccVUUjiijiji3412386123222g0302220003322000xycdlOV0iiM0iV0jM0jjg2.2.4等效节点载荷