有限元方法课件第五章等参单元和高阶单元

第五章矩形单元和等参单元§5–1矩形单元§5–2等参单元第五章矩形单元和等参单元有限元分析的主要步骤(位移元)1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性6.解线性代数方程组：得到结点位移7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变8.其它要求：进行其他工程上的要求计算2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成总体刚度方程：形成总刚和总结点荷载列阵回顾：平面问题有限元方法小结矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图5-1所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用与上一章的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系、，那么就可以推出比较简洁的结果。u2(U2)u3(U3)v3(V3)v2(V2)v1(V1)v4(V4)u1(U1)u4(U4)xoyo12432a2b图5-1矩形单元1234§5-1矩形单元byyaxx00xxxxxyyyyyaxxxxbyyyy01234023142134324122222222()()()()()()()()////////在图5-1中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系(5-1)式中其中(xi,yi）是节点i的整体坐标，i=1,2,3,4。uv12345678uNuvNviiiiii1414Ni()()/11400在局部坐标系中，节点i的坐标是(i,i)，其值分别为±1。取位移模式将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式(a)(b)其中(c)fuvNiiNNIIuviiiiii,,10011234()，，，xyxyuxvyuyvxaubvbuavabbuavaubv11111式中0=i，0=i，i=1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有式中(d)由几何方程可以求得单元的应变(e)(f)DSSSSe1234BabbNaNaNbNabbaabiiiiiiiii100141001110000BBBBe1234将(b)式代入，得(g)式中(i=1,2,3,4)(5-2)由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即(5-3)其元素是坐标的线性函数，说明应变在单元内是线性变化的。kkkkkkkkkkkkkkkkk11121314212223243132333441424344SEabbabaabiiiiiii4111111211212000000SDBii式中(i=1,2,3,4)(h)对于平面应力问题(5-4)若将单元刚度矩阵写成分块形式(5-5)正应力的主项是的线性函数，而次要项按线性变化。xkBDBtdxdyijiTjktabBSddEtbaababbaijiTjijijijijijijijijijijijij111124111312113121211312113则其中的子矩阵可按下式进行计算(i)如果单元厚度t是常量，则(i,j=1,2,3,4)(5-6)同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成E/1-2和/1-即可。kReeRUVUVUVUVeT11223344四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为(j)其中载荷列阵{R}e与上节中的(c)式相同，仍可按三角形单元一章的方法计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e具有8个元素，即(5-7)⑵如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大，那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其三分之二移置到后一个节点上。和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{}e和{R}e都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即[K]{}={R}(l)RWeT014014014014两种常见载荷的等效⑴对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为(k)由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相当于xy项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从[B]的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的1、2、3、5、6、7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上(=±1或=±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。矩形单元的应变由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量x的主要项（即不与相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量y的主要项则是沿x方向线性变化、剪应力分量xy沿x及y两个方向都是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺点：其一是矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界；其二是不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。矩形单元的应力在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用了线性位移模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的应力集中部位，产生的计算误差较大，有时即使配置了极密集的单元网格，仍然不能很好地反映应力集中因子的正确数值。§5-2等参单元对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的应力和应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较好地反映出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的边长之半作为常量而引入单元刚度矩阵中。因此，矩形平面单元未能在实际中得到广泛的应用。为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另一方面，它又能很好地适应曲线边界和非正交的直线边界。等参元就具备了上述两条优点，因而得到广泛应用。ba,niiiniiivNvuNu11,niiiniiiyNyxNx11,前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移用形函数表示为实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即(5-8)(5-9)可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或位置坐标变换式）。常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数插值公式与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者，称为等参元。显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元。但是，更常用的等参元，并不是这种单元，而是4结点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。等参单元的定义问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的任意四边形单元的计算公式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）1、等参变换（坐标映射）目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系12345678xyiiiixfy（i=1,2,3,4），已知：xfy求：解法：插值代入4个角点坐标，确定系数。1122334411223344xNxNxNxNxyNyNyNyNy求出待定系数，得1111xfy2211xfy3311xfy3311xfy12341114111411141114NNNN其中：1,114iiiNi=1,2,3,4同矩形单元位移形函数将四角点的局部坐标代入12345678xy2、四边形等参单元的位移函数从坐标变换可知,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变换式,而母元单元内任意点P的位移函数Ni同矩形单元位移形函数，即与坐标变换形函数相同，故得名等参单元。3、四边形等参单元的应变矩阵1412341238000,000000000uxxuNNNNvNyyNNNvuvyxyxεiiiiiiNNNxyxyNNNxyxy由几何方程，得新问题：形函数是局部坐标的函数，而局部坐标又是整体坐标的函数，故：iiiiNxyNxNNxyy3、四边形等参单元的应变矩阵iiiiNxyNxNNxyy