有限元法基础-10平板弯曲问题.

第十章平板弯曲问题10.1Kirchhoff板单元10.2Mindlin板单元10.3离散Kirchhoff板单元10.4小结110.平板弯曲问题本章要点板弯曲理论的基本假设和方程Kirchhoff板单元的构造方法和特点Mindlin板单元的构造方法和特点离散Kirchhoff单元的基本特点有限元法基础210.平板弯曲问题关键概念C1类板单元C0类板单元非协调板单元协调板单元Ks奇异性条件Ke非奇异性条件DKT板单元有限元法基础310.平板弯曲问题有限元法基础4ZXY中面板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个方向，中面是平面，只承受横向载荷。10.1Kirchhoff板单元有限元法基础5一.基本方程Kirchhoff假设1）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂直于中面，并且忽略它的伸缩变形2）忽略厚度方向的应力，即0z10.1Kirchhoff板单元有限元法基础6板中任意点的位移表示为三维问题二维问题(,,)(,,)(,,)(,,0)(,)wuxyzzxwvxyzzywxyzwxywxy22222,,20xyxyzxzyz10.1Kirchhoff板单元有限元法基础7定义广义应变和广义内力广义应力应变关系222222xyxywxwwywxyLxyxyMMMMMC32101012(1)00(1)/2EhC=3212(1)EhD抗弯刚度10.1Kirchhoff板单元有限元法基础8应力与广义内力的关系平衡方程以中面挠度w表示的微分方程333121212,,yxyxxyxyyxMMMzzzhhh222222(,)0xyyxMMMqxyxxyy4442242(,)410.1Kirchhoff板单元有限元法基础9边界条件1）固支类边界2）简支类边界3）给定力边界11,SS22,nnSSwwMM33,nsnnnnSSMMMQVs10.1Kirchhoff板单元有限元法基础1022222(1),nnsnsnMM10.1Kirchhoff板单元有限元法基础11最小势能原理以上广义应变是挠度w的二阶导数关系，基于此理论的板单元是C1类连续问题。3231()2TpnnASSSwwqwdAVwdSMdSnC10.1Kirchhoff板单元有限元法基础12有限元列式设插值函数为通过泛函取驻值得有限元方程单元刚度矩阵ewNqKqQTeAdAKLCLN12,,[,,,],[,,]eTniixiyiqqqqq10.1Kirchhoff板单元有限元法基础13二.非协调矩形板单元每节点有3DOF，4节点单元共12个节点DOF。iiixiiyiiq10.1Kirchhoff板单元有限元法基础14插值函数按广义坐标有限元法，在Pascal三角形中选取12项多项式2232234322341136101510.1Kirchhoff板单元有限元法基础1522312345672233389101112wxyxxyyxxyxyyxyxy223223331234567891011121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,TwxyxxyyxxyxyyxyxyPP==10.1Kirchhoff板单元有限元法基础16以节点DOF表示插值函数表示为矩阵形式22312345672233389101112356245(1,2,3,4)22iiiiiiiiiiiiiiiiixiiiiyiiiiwxyxxyyxxyxyyxyxywixyywxyxeAq1eewPPAqNq10.1Kirchhoff板单元有限元法基础17以自然坐标表示4411()iixixiyiyiiiiiwNwNNNq8)1)(1)(1(8)1)(1)(1(8)2)(1)(1(2222iiiyiiiixiiiiiiaNbNN10.1Kirchhoff板单元有限元法基础18收敛性检查1）位移模式代表刚体位移沿Z向的平移和绕y轴和X轴的转动2）位移模式代表常曲率123xy22456xxyy222465222222xyxy满足完备性要求10.1Kirchhoff板单元有限元法基础193）单元间连续性检查单元边界为x=常数或y=常数，w是三次变化曲线。以2－3边为例，可以由4个参数完全确定。在2－3边的法向导数为为三次x变化,而在边界上只有2个参数。2323,,,wwxwwxyconstwy法向导数不连续10.1Kirchhoff板单元有限元法基础204）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函数是非协调的；5）单元不满足收敛准则，但是可以验证该单元通过补片试验（PatchTest），故当单元剖分不断缩小时，计算结果还是能收敛于精确解。通过补片试验实际验算10.1Kirchhoff板单元有限元法基础21例:均布载荷下四边固支方形薄板,利用对称性取四分之一板计算10.1Kirchhoff板单元有限元法基础22例:载荷作用下方形薄板,利用对称性取四分之一板计算注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件10.1Kirchhoff板单元有限元法基础23三.3节点三角形非协调板单元共有3×3＝9个DOF三次完备多项式ijm,,iiixiyiyixiq(,,)ijm223223(1,,,,,,,,,)wwxyxxyyxxyxyy10项10.1Kirchhoff板单元有限元法基础24插值函数123456222222789()()()ijmjmmiijjmmjmiimijjiwLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL面积坐标刚体位移常应变10.1Kirchhoff板单元有限元法基础25坐标变换代入节点坐标求出系数，得到形函数iiiijjjjmmmmLabxcyLabxcyLabxcyiijjmmiijjmmxLxLxLxyLyLyLy[,,],,[,,]TeijmijmiixiyiwNNNNqNNNqqqN10.1Kirchhoff板单元有限元法基础26位移插值函数的特点a)插值函数包含有完备的线性项和二次项，能正确反映刚体位移和常应变；b)在单元边界上，w是三次变化，可由两端节点的w和w,s唯一确定，w是协调的；c)在单元边界上，w,n是二次变化的,不能由两端节点的w,n确定，w,n是非协调的。10.1Kirchhoff板单元有限元法基础27Irons等已证明如果单元网格是由3组等间距直线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析解。10.1Kirchhoff板单元有限元法基础283节点三角板元四.协调单元思路：在边界(如i-j)上寻找校正函数，具有性质1）在全部边界上2）在j-m,i-m边上3)在i-j上，按二次变化，且在中点上取1单元边界上w,n二次变化非协调元ij0ij0ijn0ijn10.1Kirchhoff板单元有限元法基础29插直函数w是非协调元的产值函数,为待定常数。目的：调整使在单元边界中点处的w,n等于两端节点的w,n的平均值，也即使得边界上法向导数线性化，可由两端点的值唯一确定。123ijjmmiwwii10.1Kirchhoff板单元有限元法基础30的确定线性化要求，在边界中点处i456ewnwnwnZq456aaeawnwnwnYq原插值函数计算出的各边界中点值原插值函数计算的边界中点平均值eeYqZqeYZYq[]eeijjmmiwNqYZq10.1Kirchhoff板单元有限元法基础31校正函数可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全部边界上等于零，在i-m和j-m边法向导数为零，在i-j边上二次变化。令2222(1)()()()()mijmijmijijmimjmimjLLLLLLLLLLLLLLLijn(/)ijijmijijn10.1Kirchhoff板单元有限元法基础32单元特点a)单元协调性完全满足b)随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解c)有高阶校正函数，要提高数值积分阶次d)实际计算时，单元往往过于刚硬10.1Kirchhoff板单元有限元法基础33例：简支方板受中心集中力协调薄板元列式的其他方法1）组合单元法将四个三角形单元组合为一个四边形单元，选用特殊插值函数，使之满足连续性要求，并凝聚内部节点2）多节点参数法引入高阶导数项作为节点DOF，以提高边界的协调性，例如10.1Kirchhoff板单元有限元法基础3422222,,,,,Reissner-Mindlin变形假设变形前垂直于中面的直线段，变形后仍然保持为直线段，但不在垂直于中面。10.2Mindlin板单元有限元法基础35(,)yxuzvzwwxyyyxxxyxyxzyyzxzzzxyxywwxy广义应变变分原理10.2Mindlin板单元有限元法基础36yxxyxyyxxyxyyxzyzxwxwy3231(,,)22TTpxyAAAnnSSSkGhwdAdAqwdAwVwdSMdSnC一般取k=5/6位移插值10.2Mindlin板单元有限元法基础37xeywNq1212[,,,][,,,]eTnnNNNNIIIqqqq(1,2,,)xiiyiiinwq应变-节点DOF矩阵10.2Mindlin板单元有限元法基础38eebsBqBq1212[][]bbbbnssssnBBBBBBBB00000iiiibisiiiiiNNxNNxNyNyNNxyBB有限元方程由泛函取极值条件得单元刚度矩阵10.2Mindlin板单元有限元法基础39()bsKqKKqQeeeebbsseeeeK=KKKqqQ=Q