有限元法基础-12动力学问题

第十二章动力学问题12.1动力学问题的有限元方程12.2质量矩阵与阻尼矩阵12.3直接积分法12.4特征值问题及解法12.5振型叠加法12.6减缩系统自由度的方法112.动力学问题关键概念一致质量矩阵团聚质量矩阵振型阻尼矩阵Rayleigh阻尼显式积分隐式积分Guyan减缩法动力子结构法有限元法基础212.动力学问题12.1动力学问题的有限元方程（一）动力学问题的基本方程平衡方程几何方程本构关系边界条件初始条件有限元法基础3,,,0V1()V2VSSijjiiiijijjiijijklkliiuijjifuuuuDuunT在中在中在中在上在上000(,,,0)(,,)(,,,0)(,,)(,,,0)(,,)iiiiiiuxyzuxyzuxyzuxyzuxyzuxyz12.动力学问题（二）Galerkin法平衡方程和力的边界条件的等效积分形式第一项分部积分有限元法基础4ijijklkliiiiiiVVVSDdVuuudVufdVuTdS,0iijjiiiijjiVSufuudVunTdS,iijjiijjijijVVVudVundV12.动力学问题（三）有限元离散在动力学分析时，物理量是空间（x,y,z）的函数，也是时间（t）的函数，是一个四维问题有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一步骤与静力学问题分析时相同时间维的离散使用有限差分法处理有限元法基础512.动力学问题（四）位移插值函数只对空间域进行离散，插值函数表示为写成矩阵形式有限元法基础6111(,,,)(,,)()(,,,)(,,)()(,,,)(,,)()niiiniiiniiiuxyztNxyzutvxyztNxyzvtwxyztNxyzwt插值函数与时间无关euNq1(,,,)()(,,,)()(,,,)()ieiiniuxyztutvxyztvtwxyztwtqu=qqq1233[]niiNNNNNNI12.动力学问题（五）有限元方程将插值函数代入Galerkin积分表达式，由的任意性得，系统的求解方程其中有限元法基础7q()()()()ttttMqCqKqQeeeeeeeeM=MC=CK=KQ=QeeeeeeTeTVVeTeTTVVSdVdVdVdV+dVMNNCNNKBDBQNfNT12.动力学问题（六）典型的动力学问题模态分析（ModalAnalysis）确定结构的动力学特征瞬态分析（TransientAnalysis）使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应谐分析（HarmonicAnalysis）线性结构承受简谐载荷的稳态响应谱分析（SpectrumAnalysis）在响应谱作用下，结构的响应有限元法基础812.动力学问题12.2质量矩阵和阻尼矩阵动力问题的质量矩阵它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持一致。假定质量集中在节点上，导出的质量矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。有限元法基础9eeTVdVMNN一致质量矩阵ConsistentMass团聚质量矩阵LumpedMass12.动力学问题团聚质量矩阵的计算方法（1）中每一行主元等于中该行所有元素之和（2）中每一行主元等于中该行主元乘以缩放因子a根据平动DOF质量守恒确定,即有限元法基础10elMeM10eneeikklijijijMMelMeM0eeiilijaijijMMeeiiViadVM()i与平动相关的行12.动力学问题振型阻尼矩阵阻尼正比于质点速度阻尼正比于应变速度这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有频率相关。和与频率无关，为常数。有限元法基础11eeTVdVCNN阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例eeTVdVCBDBRayleigh阻尼CMK12.动力学问题12.3直接积分法半离散的动力学方程的解法分为两类，一是直接进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应，称为振型叠加法。直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间和隐式时间积分。显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定的，各有优缺点。有限元法基础1212.动力学问题12.3.1中心差分法有限差分法的理论依据很简单，以有限增量的比值代替数学上的微分，速度表示为中心差分格式为有限元法基础13duuudtt21()21(2)tttttttttuuutuuuut12.动力学问题将中心差分格式应用到有限元的半离散方程整理得递推公式有限元法基础142221111122tttttttttttMCqQKMqM-Cq21122tttttttttttttMqqqCqqKqQ12.动力学问题中心差分法求解运动方程的步骤1.初始计算1）形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C2）给定，和3）选择时间步长，4）计算5）形成有效质量矩阵6）三角分解有限元法基础150q0q0qtcrtt20002tttqqqq211ˆ2ttMMCˆTMLDL12.动力学问题2.对每一时间步长1）计算时间t的有效载荷2）求解时间的位移3）如果需要计算时间t的加速度和速度有限元法基础16(0,,2,)ttt22211ˆ2ttttttttQQKMqMCqttˆTtttLDLqQ21()21(2)tttttttttttttqqqqqqq12.动力学问题特点（1）若已知和可直接预测下一步的，称为逐步积分法。如果质量矩阵M是对角的，C也是对角或可以忽略，则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一时间步的预测值。有限元法基础17ttqtqttq显示时间积分(ExplicitTimeIntegral)12.动力学问题（2）当t=0时，需要和，因此必须用专门的起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去的量，得初始加速度可用运动方程求得有限元法基础180qtq20002tttqqqqtt10000()qMQ-Cq-Kq12.动力学问题（3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。一般步长可取为为系统的最高阶固有频率，Tn是系统的最小固有振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的最小振动周期代替系统的Tn，因为。有限元法基础192ncrnTttnminennTT12.动力学问题（4）时间步长的确定方式a)网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元的特征方程求出最大特征根，得到。b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长L，可以近似地估计，，由此，得，称为Couran，Friedrich和Lewy条件。有限元法基础20()2()0eeKMn2/nnT/nTLC(/)CE/crtLC物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。12.动力学问题（5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的波速C逐步在介质中传播。对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允许大的时间步长。有限元法基础2112.动力学问题例：波的传播均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突然施加轴向端点力。用40个2节点杆单元模拟，材料为线弹性。图中Cn为Courant数，即实际步长与临界步长的比值。有限元法基础2212.动力学问题有限元法基础2312.动力学问题有限元法基础24初始速度为零，开始后在加载。12.动力学问题12.3.2Newmark法Newmark积分法假设，在的时间区域内，有其中，和是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。有限元法基础25~ttt2[(1)]1[()]2ttttttttttttttttqqqqqqqqq12.动力学问题几个特例1），对应于线性加速度法，即在时间步加速度内线性变化2），对应于平均加速度法，即在时间步内加速度取平均值有限元法基础2611,6211,42()/(0)tttttttqqqq1()(0)2tttttqqq12.动力学问题Newmark法的运动方程由Newmark关系式，得递推公式为有限元法基础27ttttttttMqCqKqQ2111()12tttttttttqqqqq22111112112tttttttttttttttKMqQMqqqCqqtq12.动力学问题Newmark法的计算步骤1.初始计算（1）形成刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）给定，和（3）选择时间步长，以及参数、和积分常数（4）形成有效刚度矩阵（5）三角分解有限元法基础280q0q0qt012324567111121212ccccttttccctct01ˆcK=K+cM+CˆTK=LDL12.动力学问题2.对每一时间步长（1）计算时间的有效载荷（2）求解时间的位移（3）计算时间的加速度和速度有限元法基础29ttˆTttttLDLqQ(0,,2,)ttt023145ˆttttttttttccccccQQMqqqCqqqtttt02367())tttttttttttttcccccqqqqqqqqq12.动力学问题Newmark法的特点（1）为隐式积分算法（ImplicitTimeIntegral）每一步都必须求解方程；（2）当时算法是无条件稳定的，即时间步长得大小不影响解得稳定性；（3）当时是条件稳定的，；（4）Newmark法特别适合于时程较长的系统数瞬态响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确模态对系统响应的影响。有限元法基础3020.5,0.25(0.5)0.5,0.5maxcritt12.动力学问题有限元法基础3112.动力学问题有限元法基础3212.动力学问题12.4特征值问题及其解法系统的运动方程为无阻尼自由振动退化为设方程解的形式为方程成为有限元法基础33()()()()ttttMqCqKqQ()()0ttMqKqˆ()itteqq2ˆ()0iteMKq2ˆ()0KMq广义特征值问题2ˆ特征根特征向量q12.动力学问题四种类型的解法：直接矢量迭代法（幂法）矩阵变换法多项式迭代求解法（行列式搜索法）利用特征多项式的Sturm序列特性求解法以及iiiKφ=Mφ()I()TTφKφ=φMφ=对角阵单位阵()det()0pKM()det()pKM()()()()()()det(),1,2,,1rrrrriprnKM12.动力学问题12.4.1逆迭代法（幂法）对方程取近似解按以下迭代格式求解则序列将收敛于相应的特征根的特征矢量。Kφ=Mφ1x1(1,2,3)kkk