有限元法基础及应用

第一章绪论学习有限元法的意义有限元法是机械类产品、工程结构设计中性能评价的强力工具。有限元分析也是科学研究的一个重要手段。有限元分析的重要作用已经成为机械、电子、土木建筑航空航天、军事工业等等众多行业的共识。掌握好有限元分析技术在职业竞争中具有优势。第一章绪论§1.1有限元法的基本概念一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学研究的重要工具。该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的领域以及计算数学。该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。第一章绪论§1.2弹性力学有限元法的基本思想单元可以有不同大小，形状和类型，可以求解复杂的工程和科学问题。连续体分割（离散）有限个、且按一定方式相互结合在一起的小单元的组合体（单元之间在节点处连接，问题的未知量由未知连续场函数转化为未知节点位移）——离散化用该离散结构近似代替原来的连续体。先求出各小单元的力学特性，然后求出单元组合体的力学特性，进而求出各节点位移和各单元应力——原问题的近似解。第一章绪论§1.2弹性力学有限元法的基本思想1）将结构划分成单元结合体——离散化；2）建立单元上力学量之间的关系——单元特性分析；3）将单元特性进行集成，获得结构的整体特性和平衡方程，并解代数方程组求节点位移、单元应力——整体分析有限元法求解的步骤对于解决实际问题，第1步之前需要建立合理的力学模型，第3步之后需要对计算结果进行分析评估。第一章绪论§1.2弹性力学有限元法的基本思想总之，有限元法最根本的思想是用简单的元件构筑复杂对象，或者把复杂的对象分解为细小简单的元件——离散化或分片。iR第一章绪论§1.3有限元法的发展历史及应用现状1943年，应用数学家柯朗（Courant）第一次提出基于变分法求解的有限单元法基本思想。后来，Courant的工作被遗忘了，直到工程师们独立发展了这一方法。1956年，Turner，clough等人将刚架“结构矩阵分析”法中的位移法推广应用于求解弹性力学平面问题，实现了现代有限元法第一个成功尝试。他们的研究工作打开了利用电子计算机求解复杂平面弹性问题的新局面。第一章绪论1960年，Clough进一步研究了平面问题的求解，并第一次提出“有限元法”的名称，使人们开始认识了有限元法的功效。70年代开始有限元软件在大型计算机上应用。80年代以后在工作站、微型计算机上应用，开始有前、后处理系统。90年代以后能够分析大型结构系统、解决复杂问题，在各行业普及。§1.3有限元法的发展历史及应用现状第一章绪论目前，有限元法的应用已从工程结构和机械结构的分析和校核扩展到产品优化设计、机理分析等综合性应用；从用于产品设计拓展到模拟工艺过程；已全面渗透到科研和生产的广泛领域，包括：机械、电子、通信、航空航天、汽车、土木等几乎所有常规工程部门，以及地质力学、医学、家电、农业、食品工业……；源于有限元技术的CAE行业，已经成为富有生命力的高新技术产业，涉及到工程软件、工程咨询、培训等领域。§1.3有限元法的发展历史及应用现状第一章绪论部分著名商业有限元软件§1.3有限元法的发展历史及应用现状第一章绪论§1.4弹簧单元和弹簧系统1一个弹簧单元的分析2弹簧系统什么是单元特性？弹簧单元的刚度矩阵弹簧系统的总刚度矩阵弹簧单元刚度矩阵的特点例题如何求解系统的平衡方程弹簧单元的刚度方程第一章绪论§1.4.1弹簧单元分析弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度：ji,jiuu,jiff,k已知弹簧力——位移关系：kFijuuF弹簧力，拉伸为正—弹簧伸长第一章绪论考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(写成矩阵形式：矩阵符号形式：——弹簧单元刚度方程，单元特性jijiuukkkkffkdf§1.4.1弹簧单元分析第一章绪论思考问题：1）k有什么特点？§1.4.1弹簧单元分析jjjiijiikkkkkjijiuukkkkff上式中：fdk单元节点力向量单元节点位移向量弹簧单元的刚度矩阵2）k中元素代表什么含义？3）上面方程可以求解吗？为什么？kkkkk第一章绪论§1.4.2弹簧系统分析求解一个弹簧系统：1）各单元的特性分别为：单元1：单元2：22213222221211211111ffuukkkkffuukkkk第一章绪论2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：22321122111fFffFfF把单元特性代入，得到：322233222111221111)(ukukFukukkukFukukF§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论上面方程写成矩阵形式：或（系统的有限元平衡方程）FKDK——弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）F——整体节点载荷列阵讨论：（1）有哪些特点和性质？（2）上面方程能求解吗？KD——整体节点位移列阵§1.4.2弹簧系统分析系统平衡方程—节点载荷与节点总内力的平衡第一章绪论方法2：单元刚度方程扩大叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：§1.4.2弹簧系统分析元素按总体节点序号重新排列，对号入座。要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！第一章绪论b.将上面的矩阵方程叠加，得到：§1.4.2弹簧系统分析系统总节点力（内力）与节点位移的关系——系统特性。c.代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：22321122111fFffFfF注意：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加！第一章绪论3)给定载荷和约束条件下的求解设边界条件为：则系统平衡方程为：PFFu3210§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论该方程展开后分为2个部分：未知量为2个节点位移和一个支反力32,uu1F解上面方程得：§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论注意：上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论例题1：弹簧系统已知条件：求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论解：（a）各单元的刚度矩阵为：§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：或总刚度矩阵特征：对称，奇异、带状、稀疏§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：（b）先施加位移边界条件将带入平衡方程后，第2，3方程为：041uu§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论求解得：（c)由第1，4个方程求得支反力(d)弹簧2内力222232()20032200()FkkuuN（拉力）§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论练习1：对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵§1.4.2弹簧系统分析第一章绪论§1.4.2弹簧系统分析要点回顾1、弹簧单元刚度方程的建立jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(jijiuukkkkffkdf弹簧变形平衡单元刚度方程（单元特性方程）第一章绪论2、弹簧系统的集成1）列节点平衡方程法22321122111fFffFfF322233222111221111)(ukukFukukkukFukukFFKD单元特性系统节点平衡条件系统平衡方程第一章绪论相加22321122111fFffFfF系统节点平衡条件单元特性方程—扩大FKD系统平衡方程引入系统节点平衡条件2）单元方程扩大相加法