有限元法理论及应用参考答案

有限元法理论及应用大作业1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有：（1）结构的离散化，即单元的划分；（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；（3）等效节点载荷计算；（4）整体分析，建立整体刚度方程；（5）引入约束，求解整体平衡方程。2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。题2图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。有限元划分网格的基本原则:1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？题3图答：（a）划分为杆单元，8个节点，12个自由度。（b）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。（c）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。（d）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。4、什么是等参数单元？。答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？(1).26543221),(),(yxyxvyxyxu(2).2652423221),(),(yxyxyxvyxyxyxu答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。（2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。（1）集中力F平行于x轴，e点到i、j点的距离分别为ｌie，ｌje；（2）边长为ｌij的ij边上有线性分布载荷，最大值为q。题6图答：（1）0jeieiejalllFF0jeiejeialllFF（2）i,j两节点受到的力分别为ijql61，ijql31θθcos61sin61ijijiqlqlPθθcos31sin31ijijjqlqlP7、图示三角形ijm为等边三角形单元，边长为ｌ，单位面积材料密度位ρ，集中力F垂直作用于mj边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三角形单元的节点载荷向量。题7图题8图答：将q移置到m,i节点：qlqlPm41431qlqlPi41431将F移置到m,j两节点：FFPm41432FFPj41432将重力移置到i,j,m点：33231230jimPPlP叠加后得：212341414343lFqlFqlPm21234143lqlqlPi21234143lFFPj8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知i、j两个节点的位移为零，试证明ij边上任意一点的位移都为零。证：设ij边上任一点坐标为x,y，则其位移为：∵i、j点位移为0∴所以ui,vi,uj,vj均为0要证{δ}=0，只需证Nm=0∵Nm=(am+bmx+cmy)/2A，am=xiyj-xjyi，bm=yi-yj，cm=xj-xi∴Nm=[xiyj-xjyi+(yi-yj)x+(xj-xi)y]/2A=[xyi-yxi]/2A∵该点为ij边上任一点∴yi/xi=y/x∴Nm=09、已知图示的三角形单元，其jm边和mi边边长均为a，单元厚度为t，弹性模mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNN000000}{量为E，泊松比为μ＝0，试求：（1）行函数矩阵N；（2）应变矩阵B；（3）应力矩阵S；（4）单元刚度矩阵K。解：令m点为坐标原点，则m点坐标为（0,0），j点坐标为（0,a），i点坐标为（a,0）0ajmmjiyxyx，0miimjyxyxa，2ayxyxaijjimayybmji，0imjyyb，ayybjim;0jmixxc，axxcmij，axxcijm.mjiycxbaANiiii,,),(21xaaxaNi1*12,yaayaNj1*12,)(1)(*122yxaaayaxaaNmy-x-a0y0x00y-x-a0y0x1N0N0N00N0N0NmjimjiaN110101010100100001100000000001000000212aaaaaaaaaabccbbccbbccbBmmmmjjjjiiii10002000222100010112EED120102020100100002211010101010010000111000200022aEaEBDS21101010101001000011100020002211010101010010000112ataEatBDBKTTe3121302021101100201101101101100200024Et题9图题10图10、如图所示，设桁架杆的长度为ｌ，截面积为A，材料弹性模量为E，单元的位移函数为u(x)=α1＋α2x，导出其单元刚度矩阵。答：：1点：x=0u=u12点：x=lu=u2luu21211luluu12211lxNlxulxulxxluluuu2121121;1N1令21212211uuNNuNuNudxdudxuduueeeBlllxlxdxd111eeeSlElEBEE[K]e=∫∫V[B]T[D][B]dv[D]-----为弹性矩阵(对于一维问题,为E)22220e1111[K]lEAlEAlEAlEAAdxllElll11、如图为一悬臂梁，其厚度为1m，长度为2m，高度为1m，弹性模量为E，泊松比为μ＝1/3，在自由端面上作用有均匀载荷，合力为F，若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令μ＝0，试求整体刚度矩阵。解：离散为两个单元求各节点位移,假设t很小,则该问题为平面应力问题：一、单元编号、节点坐标单元号节点号①②i12j23m44各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)面积A=1;二、求单元刚度矩阵（１）对单元①(i=1,j=2,m=4)由ai=xjym-xmyjbi=yi-ymci=xm-xj得b1=-1c1=-2b2=1c2=0b4=0c4=2由srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1(42r,s=i,j,m令329)1(42EtAEtP得:37343437][11Pk3132321][12Pk4323234][14Pk3132321][21Pk31001][22Pk032320][24Pk4323234][41Pk032320][42Pk40034][44Pk4003243203432032340323103132320013214323132373432343213437444241242221141211Pkkkkkkkkk（１）、对单元②(i=2,j=3,m=4)同理求得：b2=0c2=-2b3=1c3=2b4=-1c4=0求得：40034][22Pk4323234][23Pk032320][24Pk313343437][33Pk3132321][34Pk31001][44Pk可得单元②的单元刚度矩阵：310313203201321320313231334432321343732303243240320323403444434234333223232224kkkkkkkkkPk三、整理刚度矩阵将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵31303132034432037321340323431323133443200321343732340003443231303132340323403732143200313237343234003213437][PK四、单元等效节点力和整体等效节点载荷∵单元①不受分布力作用∴{R}①=0单元②有分布力F/t作用，利用tdsqNRlT}{][}{②dsFNtdstFNLTLT0][}{][dsFLLjLLLLLTmimji0000000∵ij边上Lm=0∴dsFLjLLLRLTiji000000000}{②dsLLFRLTji0000}{②由ldsLLLji)!1(!!得2121dsLdsLLiLiTFR]001010[2}{②将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点1和4上的未知集中力，得整体等效节点载荷为TYXFFYXR]2020[}{4114五、求解整体平衡方程整体平衡方程：441144332211202013012041220723402412134420023472400041221301240240723122001