有限单元法解平面问题

§6-1基本量及基本方程的矩阵表示§6-2有限单元法的概念§6-3单元的位移模式与解答的收敛性§6-4单元的应变列阵和应力列阵§6-5单元的结点力列阵与劲度列阵§6-6荷载向结点移置单元的结点荷载列阵§6-7结构的整体分析结点的平衡方程组§6-8解题的具体步骤单元的划分§6-9计算成果的整理§6-10计算实例第六章用有限单元法解平面问题TxxyyfffffTxyxyxyxyσTxyxyxyxyTuduvvσD2101011002ED§6-1基本量及基本方程的矩阵表示体力列阵：面力列阵：应力列阵：应变列阵：位移列阵：物理方程：称为弹性矩阵。对于平面应变问题，只需将弹性矩阵[D]中的E、分别换成即可。211E、（平面应力问题）()dd()d()ddxyxyAsxxyyxyxyAfufvxyfufvsxy则虚功方程可用矩阵表示为：TTTddddd**AsAdfxydfsεσxyTT*******xyxyduvεTuvvuxyxy几何方程：此外，用限单元法还要用到虚功方程：现将虚位移及与该虚位移相应的虚应变表示为：对连续变形体，它可以代替平衡微分方程和应力边界条件。1、对连续体进行离散化。§6-2有限单元法的概念有限单元法是用由有限多个、有限大小的单元在有限个结点相互连接的集合体来近似原来的连续体，当上述单元足够小从而划分网格足够密时，就可以真实地模拟原连续体。有限单元法分析的基本步骤：2、单元分析：（1）选择适当的位移模式，用单元结点位移（为基本未知量）来表示单元内任一点的位移，即要建立如下关系式:对于平面问题，最简单而常用的单元是三角形单元。在平面应力问题中，它们是三角板，在平面应变问题中，它们是三棱柱。结点——铰接点eBeS{}e称为单元结点位移列阵。（2）应用几何方程，求出单元的应变，即：（3）应用物理方程，求出单元的应力，即：其中[S]称为应力转换矩阵。ijmuiviumvmyxujvjOTTTTTeijmiijjmmuvuvuvudveNδ其中[N]称为形函数矩阵。其中[B]称为应变转换矩阵。（5）将作用在单元上的外荷载按虚功相等的原则，移置到单元各结点处，成为单元结点荷载：TTTTTeLLiLjLmLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFFFFFLKδF（4）由于单元产生了应力，则在单元的边界及内部作用有与之平衡的面力和体力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，作为结构其它部分通过结点对此单元的作用力，称单元结点力，再利用虚功方程，得：即为单元结点力，[k]称为单元劲度矩阵。对各结点进行平衡分析，列平衡方程并组集得到整体结点平衡方程组：其中[K]称整体劲度矩阵。ijmOxFixFiyyFmyFmxFjyFjxeeFkTTTTTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFF其中：3、整体分析：§6-3单元的位移模式与解答的收敛性对三结点三角形单元，假设位移分量只是坐标的线性函数，即：123456uxyvxy123456iiiiiixyuxyv123456jjjjjjxyuxyv123456mmmmmmxyuxyv由左边三个方程求解1、2、3，右边三个方程求解4、5、6。再代回u、v中，得iijjmmiijjmmuNuNuNuvNvNvNv在i、j、m三个结点，位移应当等于结点位移，即：ijmuiviumvmyxujvjO一、位移模式：其中，Ni、Nj、Nm称形函数，其表达式为11(,,)11jjjjiiimmmmxyyxabcijmxyyx()2(,,)iiiiNabxcyAijm为单元ijm的面积。为使面积不致为负，在图示坐标系中i→j→m的次序须是逆时针的。而11121iijjmmxyAxyxyijmuiviumvmyxujvjO分别为系数行列式第一、二、三列各元素的代数余子式。则单元内任一点的位移可用矩阵表示为：iijjmmiijjmmNuNuNuudvNvNvNv000000ijmijmNNNNNNNTTTTTeijmiijjmmuvuvuv为单元结点位移列阵。为形函数矩阵。其中：edN简写为()1()0()0(,,)iiijimNNNijm二、形函数的几何意义及性质：记三角形单元ijm内的任一点为P(x,y)，则知形函数的几何意义为：ijmuiviumvmyxujvjO(,,)iPjmNAAijm由此几何意义容易看出形函数具有如下性质：为了保证有限单元法解答的收敛性，必须使位移模式能够正确反映物体的真实位移形态，具体说来，就是要满足下列三方面的条件。①位移模式必须能反映单元的刚体位移。②位移模式必须能反映单元的常量应变。③位移模式应当尽可能反映位移的连续性。11d,d0,d22iiiijjmmiNsijNsNsmi++1ijmNNNdd3iAANxy在ij及im两边的中点，在三角形ijm的形心，12iN13iNijmuiviumvmyxujvjO三、解答的收敛性：解答的收敛性是指：当单元的尺寸逐步取小时有限单元法的解答收敛于真实的解答。注意：①＋②为必要条件，①＋②＋③为充分条件。eBijmBBBB0102iiiiibBcAcb),,(mji§6-4单元的应变列阵和应力列阵其中[B]称应变转换矩阵，可写成uxvyvuxy00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuv或简写为iijjmmiijjmmNuNuNuudvNvNvNv将位移u、v代入几何方程，可得用结点位移表示的单元应变：ijmSSSS22(1)1122iiiiiiibcESbcAcbSDBeS再将单元的应变代入物理方程，得到用结点位移表示的单元应力D其中：可简写为：称应力转换矩阵。可写成分块形式),,(mji注意：由于矩阵[B]的元素都是常量，可见应变{}的元素也是常量。因此三结点三角形单元也称为平面问题的常应变单元。eDB（平面应力）注意：在每个单元中，应力分量也是常量。由于相邻单元一般将具有不同的应力，因而在它们的公共边上，应力并不连续。§6-5单元的结点力列阵和劲度矩阵T******e*iijjmmδuvuvuu另一方面，由虚功方程有ijmOxFixFiyyFmyFmxFjyFjx由于单元产生了应力，则在单元的内部及边界作用有与之平衡的体力和面力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，成为单元结点力：TTTTTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFFTTTdddee**AsFtdfxytdfs设单元结点i、j、m发生了虚位移，即：则有：TTTddddd**AsAtdfxytdfstεσxy于是由以上两式，得（t—单元厚度）iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsbbccbccbEtkAcbbcccbb),,,(mjisreeFkδ则：其中[k]称为单元劲度矩阵。由于虚位移可以是任意的，再令：TddAktBDBxy代入上式：TTddeeee*AFtBδDBδxyTTddee*AδtBDBxyδTTddeeAFtεσxy注意到：e**εBδeDB对三结点三角形单元ijm，[k]可写成分块形式：（平面应力）例：图示等腰直角三角形单元ijm。试写出单元的应力转换矩阵[S]和劲度矩阵[k]。,000,,0ijmijmxaxxyyay，1110111ijiijmjmmxxxccacaxxx，，在图示坐标下解：21101111102221100iijjmmxyaAxyaaxy1110111ijiijmjmmyyybabbayyy，，ijmxyaa22(1)1122mmmmmmmbcESbcAcb22(1)1122iiiiiiibcESbcAcb22(1)1122jjjjjjjbcESbcAcb2100(1)102Ea2001(1)102Ea211(1)1122EaijmSSSS21122114(1)22iiiiiiiiiiiiiiiiiibbccbccbEtkAcbbcccbb21012(1)02Et下面求单元的劲度矩阵[k]：210010011(1)1111002222Eaiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk同理可求其它分块。最后得：21102110220012(1)1131222111312222Et对称单元劲度矩阵[k]的特点：注意到只有结点i上有位移，其它结点位移均为零，则有例：上例中若j、m处为固定铰链支座，结点i处作用有水平力P和竖直力P，求单元位移分量u、v。11m3t，，TejxjymxmyFPPFFFFT0000eiiuveeFk解：知：其中：iiiiuPkPv由于：eeeeiiiiijjimmFkkk21012(1)02iiEtk于是10911603iiuPEvP161693iiiixPxPuNuvNvaEaE所以而由上例结果知：11639iiuPvE解得10911603E