保险精算(三)

生命表函数与生命表构造第三章本章重点生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定第一节生命表函数分布函数一个人的寿命从出生到死亡的时间长度，是无法事先确定的，在概率上称之为随机变量，记为X。是连续型随机变量。Pr0XXFxXxx用表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则的分布函数00xx即岁的人在岁之前死亡的概率。,0XfxfxFxx的概率密度函数记为则，50X那么Pr表示什么？5050x表示岁的人在岁以后死亡的概率，即在岁仍然生存的概率。Pr501Pr50150XXF()PrxXxtXx表示什么？xxxt表示活到岁的人在～之间死亡的概率，即PrPr1Pr1XxtXxXxFxtFxFx()Pr()PrPrxXxtXxxXxtXxXx0EXxfxdx生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：()Pr()SxXx)(1)(xFxS)()(xSxfxPr()()()xXzsxsz剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。T分布函数记为(())()1()()()TFtPrTXtPrxXxtXxFxtFxFxsxsxtsx＝TFt,TTTsxtTftftFtsx的概率密度函数记为Tx在精算学中，用国际通用的符号来表示有关的各种概率。(())()txqPrTXtPrxXxtXxsxsxtsx＝Pr,0txqTxttxxt用表示岁的人在岁以前死亡的概率剩余寿命剩余寿命的生存函数：特别：txpPr(())Pr()()()txpTxtXxtXxsxtsx0()xpsxxxt表示岁的人在岁仍活着的概率。剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人活过t年后在往后u年内去世的概率即在x＋t岁到x＋t＋u岁之间死亡的概率。xpxqxtuq1xxpp1xxqqPr[]PrxtutuxtxtxtuxqPrtTxtuTxtuTxtqqpp整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数()x()Kx(),()1,0,1,KXkkTxkk11Pr(())Pr(()1)Pr(()1)Pr()1PrkxkxkxkxKXkkTxkkTxkTxkTxkqqpp剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记()x00000000(())()()oxTtxtxtxtxtxtxsxteETxtftdttdtsxtpdttppdttppdtpdtoxe剩余寿命的期望与方差剩余寿命的方差2220(())(())()2otxxVarTxETxETxtpdte整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记()x1012233412310(())()23xkxkxkxxxxxxxxxkxkeEKxkppppppppppppxe整值剩余寿命的期望与方差整值剩余寿命的方差22210(())()()(21)kxxkVarKxEKEKkpe死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系()xx()()ln[()]()()xsxfxsxsxsx死亡效力与生存函数的关系000000lnln,lnxyxxyxxxyydydysydysydysxdysxe两边积分，00xtxtyyxxydydytxdysxtepesxe从而，死亡效力死亡效力与密度函数的关系0xsdsxxfxsxe第二节生命表的构造有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)1()1,0xxxsxx()exp{(1)/ln},B0,c1,0xxxBcsxBccx有关寿命分布的参数模型Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)()exp{(1)/ln},B0,A-B,c1,0xxxABcsxAxBccx1()exp{/(1)},0,0,0nxnkxsxkxnknx参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：x0l生命表的构造个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作0lnxdxd1nxxxnxxxdlldllxl0()xllsx0lxxxdlq生命表的构造个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：txxyxtdylLxyxoxxxTldyTel0l0ltxLxTxxld生命表中列有的和的值会给计算各种概率带来方便。,1xkxxkkxkxkxxxlllpqpllxkxkmxkmxkxkmxxxkxkmxqpplllllll生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89txx~xtqxtdxtLxTxexl例3.1：已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。)1001(10000xlx30103030302030,,,qqpd例3.1答案1000000020555020530304140301030603030303050302031303050)1001(316/1270/17/37/51001dxxlTlllqlllqlllqllpllde、、、生命表的类型国民生命表经验生命表国民生命表：是根据全国范围内的人口统计资料构造出来的，反映的是一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。经验生命表：是人寿保险公司经营寿险业务死亡率的经验结果，它是以人寿保险公司的被保险人群体为对象。它分为终极表、选择表和综合表。选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用选择-终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.10248278.0357.0508.0641.0796.0973.112183][xq5xq]1[xq]2[xq]3[xq]4[xq5x225001.,15060250603xsxe给出生存函数求：（）人在岁至岁之间死亡的概率；（）岁的人在岁以前死亡的概率；（）人能活到70岁的概率；（4）50岁的人能活到70岁的概率。1Pr(5060)X5060ss＝361250.36790.23690.1310ee10503612515050102500.370.240.370.35ssqseee49253Pr70700.14086Xse20504925150204500.140860.367880.38561spsee8080810.07,3129,.qdl2.已知求818080808080808080813129447000.0744700312941571llddlqdlql()())()1()B()1()C()()1D()1()SxFxASxFxSxFxSxFxSxFx之间的关系正确的是(、1、生存函数和分布数－－函、、、2)TTTTTtxxTftsxtsxtAftBftsxsxsxtCftDftpsx、关于剩余寿命的概率密度函数表述正确的是(、、、、113PrPr1,0,1,PrPrPrkxkxkxkxkxkxAKxkkTxkkBKxkKxkKqqCppDpqxk、、、下列表述错误的是（）、、＝＝00004xxyyxydydyxdyyAsxeBsxeCsxedyDsxe、死亡效力和生存函数之间的关系表述正确的是（）、、、、8080810.07,3129,.qdl1.已知求2.已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06，而42岁的人生存至43岁的概率为0.92.如果40岁生存人数为100人，求43岁时的生存人数。