保险精算-年金rui

第一节年金的定义一、年金的定义按相等时间间隔所支付的一系列款项。如住房按揭分期付款、养老金给付等。年金最原始的含义是指一年支付一次,每次支付相等金额的一系列款项.现已推广到任意时间间隔长度的系列付款。二、年金的分类1、按照年金的支付时间和金额是否确定,年金可以划分为确定年金和生命年金.确定年金与生命年金的区别生命年金以人的生存为支付条件。（必要条件）给付期间或次数生命年金需考虑人的生存概率，确定年金的计算一般只考虑利率、2、按照年金的支付期限长短.可以划分为定期年金和永续年金.3、按照年金的支付周期不同,年金可以分为每年支付一次的年金、每季支付一次的年金、每月支付一次的年金等等.如果年金是连续不断地支付,那么这种年金被称为连续年金.4、按照年金支付的起始点不同,可以分为期初付年金和期末付年金.期初付年金是指在每个支付周期初(如年初、季初、月初等)支付的年金.期末付年金是指在每个支付周期末(如年末、季末、月末等)支付的年金.5、按照年金开始支付的时间不同,年金可以分为即期年金和延期年金.6、按照每次付款的金额是否相等,年金可以划分为等额年金和变额年金.等额年金是指每次支付相等金额的年金;变额年金是指每次付款金额并不相等的年金.11(1)11:1nnaaqaqqqasqn本章学习基础:等比数列的求和公式:s无穷等比数列的求和公式第二节期末付年金一、期末付确定年金的现值年金现值是指年金的一系列付款在期初（时间起点）的价值.期末付年金：共有n个支付期，支付间隔相等，每个期末付款1元，每期实际利率均为i。现值：一般用表示经济意义0时刻投资1单位本金，投资n期左边初始投资本金1右边各期利息现值之和+n期期末回收本金1的现值第三节年金的终值一、期末付确定年金的终值时期012n-2n-1n年金11111(1+i)n-1(1+i)n-1…(1+i)2(1+i)Sn211(1)(1)...(1)1(1)1(1)(1)1:(1)1nnnnnnsiiiiiiiiis将上式变形得经济意义0时刻投资1单位本金，投资n期左边n期期末，投资积累值右边各期利息积累值之和+投资本金1例：计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值和积累值。解：现值：1000a100.06=1000[1-(1/1.06)10]/0.06=7360.09(元)积累值：1000sn=1000[(1+0.06)10-1]/0.06=13180.80(元)验证一下：sn=(1+0.06)10an例：某人在银行存入20000元，计划分四年支取完，每半年支取一次(年末)，每半年计息一次的年名义利率为7%，求其每次支取的额度。解：设每半年支取额为R，有：Ra80.035=20000R=20000i/[1-(1+0.035)8]=2909.51(元)课本例题2、期初付年金:每个期初支付1元，其余同期末付年金相同012n-2n-1n11111现值：一般用表示=(1-vn)/(1-v)=(1-vn)/dna..132.....1nnvvvva积累值：)1...()1()1(1..iiisnnnnnnsia....)1(积累值与现值的关系diiiiiiinnn1)1(1)1()1(1)1(1)1()1(..na与na、..ns与ns之间的关系..2212211......(1)nnnnnnnnavvvvvvvvvvavai同理，)1(..issnn例：某银行客户想通过零存整取方式在1年后获10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月初(末)储蓄存入多少元？解:设每月存入R元，有：120.005120.005120.005120.005100001000010000806.6312.3972100001000010000810.6612.3972RsRsRsRs年金在住房按揭中的应用假设单价3480元/平方米，购房面积136.35平方，按揭8成，按揭年数20年，年利率4.16%。问：每月月末还贷多少?共支付多少利息?月利率i=4.16%/12购房总额136.35*3480=474498首付总额*0.2=94899.6剩余额=总额*0.8=379598.4银行实际贷款37万实际首付104498设每月付款R37万=R*（1-v^240）/iR=2273.45共支付利息=R*240-37万=175628四、例题某人预计在１０年后需要为其子女支付４００００元的学费，为此他打算在每年初往一种基金存入一笔钱．如果该基金的年实际利率为６％，那么他每年该存入多少钱，才能保证第１０年末获得４００００元用于支付子女的学费．10106%106%:,40000400001.06400001.0613.18082863()AASS6%解假设每年初需要存入元则根据题意可以建立下述方程:40000=As元三、练习71118,,,,,aKaLaMKLM已知用表示i的值.71118711187111818711:,,111,,1,1,11(1)(1)aKaLaMvvvKLMiiiviKviLviMvvviMiKiLLKMiKL解2.3年金在任意时刻的值年金在支付期限内任意时刻的值年金在支付期限内任意时刻的值年金在支付期限结束后任意时刻的值3、延期年金：第一次支付发生在第m+1期，最后一次支付在第m+n期，共有n个支付期。012…..m+1m+2m+n…..11000期末支付：现值用nmmkmnmnmknmaaavva1nma表示1m012mm+1m+n111namna(1)mmmnnnmmnmnaaiavaaa3.(1)limmmnnmnmnmmmmnnaaiavaaavaavdmn期初付延期年金的现值计算公式:4、例题:某企业向银行借入一笔款项,银行贷款的年利率为8%,银行规定前10年不用还本付息,但从第11年至第20年每年末偿还本息2000元,问这笔贷款的金额是多少?101010102010:2000200020006.71010.463196216():20002000()2000(9.81816.7101)6216()mmnnmnmnmnmaavaavaaaaaa解法一:应用公式:得元解法二:应用公式得元例题:某企业从银行获得一笔贷款,年利率为6%.假设企业每年末向银行偿还20000元,10年后即可以还清贷款的所有本息.如果企业打算在5年零3个月时一次付清所有贷款本息,试计算应该一次性偿还多少.解:先计算年金在5年末的值即:20000(s5+a5)将此值再计算3个月的复利率累积值,即得上述年金在5的零3个月末的值为:20000(s5+a5)(1+i)0.25=20000(5.6371+4.2124)(1+0.06)0.25=199880(元)5、年金在支付期限结束后任意时点上的值(以期末付年金为例)时期012n-2n-1n年金11111年金现值:an年金终值snn+m(1)(1)mnnmmnmnsissai例题:一份保险合同规定,年金受益人可以在每年末从保险公司领取2000元,一共领取10年(年金受益人死亡后由其继承人继续领取,直至10年期满).受益人希望将这笔年金暂时存在保险公司,并在第15年末一次性领取作为儿子的学费.如果保险公司同意按5%的年复利率支付利息,那么保险公司在第15末应该一次性支付多少?5:10,(10.05)200012.57791.2762832106()1010解首先计算上述年金在第年末的终值为2000s再计算该终值在第5年末的累积值为:2000s元4、永续年金定义：支付次数没有限制，永远持续支付的年金。相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为，iaann1lim｜｜例：某人去世后，保险公司将支付100000元的保险金，其三个收益人经协商，决定按永续年金方式领取该笔款项，收益人A领取前8年的年金，收益人B领取以后10年的年金，然后由收益人C领取以后的所有年金，所有的年金领取都发生在年初，保险公司的预定利率为6.5%，计算A、B、C各自所领取的保险金份额。