保险精算学3_li

第二章趸缴净保费人寿保险这个概念在使用时有广义和狭义的区分。广义的人寿保险就是人身保险，狭义的人寿保险则不包括生命年金保险和健康保险。狭义的人寿保险有三种基本形式，定期寿险、终身寿险和两全保险。定期寿险又称死亡保险，它只提供一个确定时期的保障，把被保险人在保险期内死亡作为保险金的给付条件，若被保险人在保险期满依然存活，则没有保险金给付。终身寿险是提供终身保障的保险，无论被保险人在投保后的任何时候死亡，保险人都向其受益人给付保险金。两全保险是生存保险和死亡保险的组合，若被保险人在契约期内死亡则给付死亡保险金，若被保险人在保险期满仍然存活则给付生存保险金。本章讨论的人寿保险是狭义上的人寿保险，包括死亡保险和养老保险。如上所述，死亡保险以被保险人在保险期内死亡作为保险金给付条件，若被保险人保险期满仍存活，则没有给付。养老保险是以被保险人在保险期内死亡或存活到保险期满为保险金给付条件。在保险期内，人寿保险的死亡保险金通常是在死亡发生后立即给付的。为了研究的方便，这里首先讨论假设死亡给付发生在死亡年年未时的精算方法，然后再用一定方法调整成死亡时给付的情况。2、1死亡年末给付的寿险2、1、1定期死亡保险的现值定期死亡保险简称为定期寿险，设n为定期寿险的保险期限，某人x岁投保n年定期寿险，保险金为1单位元，在死亡年末给付，其现值用表示。即：为了得到在他死亡(在x—x+n之间的任何时刻）时1单位元的保险金给付，他现在应缴纳趸缴净保费为。以下我们讨论的计算公式。1:xnA1:xnA1:xnA假设在x岁时有个人参加定期寿险，保险金在死亡年末给付（如果某人在x+m岁时死亡，则保险金在x+m+1的时刻给付）。在投保第一年（x到x+1岁之间）中有人死亡，于是保险人在第一年末给付了元，它的现值为；在投保第二年中有人死亡，于是在第二年末给付元，它的现值为在第n年中有人死亡，于是在第n年末给付，它的现值为：xlxdxd1xdv1xd11xd12xdv1nxd11nxd1nxndvxx+1x+2……x+nxd111xd11nxd……这样保险人给付的所有保险金在x的现值为：x岁的人共缴付的趸缴净保费为：由收支平衡原理（保险人收取的保费和给付的保金应相等），应有：这样，平均给付每一个被保险人的1单位元保险金的现值为：112nxnxxdvdvvdxlxnxlA1:1211:nxxxxnxnAlvdvdvd1211:nxxxnxnxxxdddAvvvlll因为：及所以：这个公式表明，无论被保险人在何时死亡，给付保险金的时刻总是在整数年龄上。为了具体计算出结果，我们对以上公式作一个变形：xnxnxdqlxxxldq112111:0nntxxxxntxntAvqvqvqvq1111111:00011110011nnntttxxtxtxtxxntttxxnnxtxtxtxtxttxxddAvqvvvlvlvdvdvlD我们引入下列转换函数(便于查表直接计算)：设：则有：以上公式可写成：xxxdvC1021ttxxxxxCCCCMnttxnxnxnxCCCM11111:0011111()nnxtxtxtxnttxxxxnxxxnxxAvdCDDMMCCCDD例5（P80）张丽在55岁时投保了定期25年，保险金为50000元的寿险，设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：这一寿险的现值为：实验习题：在“生存年金计算表”中编制的计算表，把名称改为“生存年金和寿险计算表”。155552555:2555500005000010503.47715(MMAD元）1:nxA生存保险和死亡保险的对比生存保险：……xx+1x+2x+3……x+n特别地，当时，生存年金就成为确定年金：而此时的死亡力为：11xl21xl31xlnxl1nxnxxxnxlvlvlvla221:nttxxntxttxnxnxxxxnxDDpvllvllvllva11221:1nxxxxllll21nnnxavvva2:0limlim00hlllhqxhxxtxhhx死亡保险：……xx+1x+2x+3……x+nxd111xd21xd11nxd1121:nxnxxxnxdvdvdvlA101011011011121:1nttxxntxxtxtxntxttntxtxtxnxnxxxxnxCDlvdvqvldvldvldvldvA2、1、2终身寿险的现值终身寿险没有期限限制，不论被保险人于一生中何时死亡，保险公司都要给付保险金。人总有一死，因此，对保险公司来说，其承保的是一份终身有效的寿险保单，最终都要承担给付义务。若某人于x岁投保，保险金额为1单位元的终身寿险，并且在死亡年末给付，其精算现值用表示。根据以上讨论的定期寿险现值的思想，我们有：xAxxttxxttxtxxxttxtxtxttxDMCDdvlvdvlqvA0010101111例：（1）张丽在55岁时投保了保险金为50000元的终身寿险，设i=0.06，求这一保险的精算现值。（2）若张丽在投保终身寿险时一次缴付1500元的净保费，其保险金额是多少？解：（1）所求现值为：设：设保险金额为R元，则：555555500005000014272.371()MAD元150055AR555555150015005254.908247DRAM（元）我们称：11112:111()()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxMMCCCCCADDDvdvllvqvll为x岁的自然保费。例：求25岁和35岁的自然保费。解：125:1135:10.0006962260.00099717AA例5·2（P80）某男在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为：i=10%，求这一保单的精算现值。解：因为：其中：x=40，最大的x+t应该是ω-1=105-1=104，所以：40+t=104，即最大的t为：t=104-40=64。因此，所求现值为：10001105xxl011ttxtxxdvlA640401404012000020000tttdvlA因为：（由此可知，在德莫弗假设下，是一个与x和t都无关的常量。）52381.91051000)1051401(1000)105401(10001404040ttlldttt04762.619)105401(100040l001615385.004762.6191140ltxd6411265650.109.979607ttvvvva所求现值为：64140400406414040650.104040120000200002000020000200000.00116153859.523819.9796073070.65tttttttAvdlddvall（元）2、1、3延期死亡保险的现值延期死亡保险又称为延期寿险，是指保险期从投保一定时期后开始的终身死亡保险。对（x）的延期n年每年1元死亡给付现值，以表示：xnAxnxxnxxxxnxxnttxttxnDMDMMDMAAqvA1:100011xx+1x+nx+n+1x+n+2……………………例：张丽在55岁时投保了延期5年、保险金为50000元的终身寿险，设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：55555555500005000012510.21556MAD（元）例：张丽在55岁时投保了20定期寿险，前5年内死亡，保险金为50000元，在5年后死亡保险金为80000元，设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：11555:555:15500008000012240.42012AA1155:2055:5800003000012240.42012AA2、1、4n年养老保险的现值n年养老保险是n年定期寿险与n年纯粹的生存保险的合并，称之为两全保险。对(x)的1元n年养老保险的现值以表示：nxA:01111+1（生存保险）xx+1x+2x+n-1x+n…………1::xxnxnnxxnxnxxxxnxnxMMDAAEDDMMDD为了与寿险符号一致，一般用来代替，即：则以上公式可表示为：例：张丽在55岁时投保了保险金为50000元的25年养老保险（两全保险），设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：说明：如果张丽在25年之内的任何时刻死亡，她将得到50000元的给付；如果张丽能活到80岁，她也可以得到50000万元的给付。1:xnAxnE1:nxxnAE111::::xxnxnnxxnxnxnxnxMMDAAEAAD555525552555:2555500005000016303.5608MMDAD（元）2、1、5n年延期m年定期死亡保险的现值1111:::xnnmxmxnmxnxxnmxxnxnxnmxxxAAAAMMMMMMDDD2、1、6n年延期m年定期两全保险的现值1:::xxnmxnmxxnnxmxnmxnxxxnxnmxnmxMMDMMAAADDMMDD例：张丽在55岁时投保了保险金为50000元的延期5年、25年定期的死亡保险，设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：1555:255000010542.02231A例：张丽在55岁时投保了保险金为50000元的延期5年、25年定期的养老保险（两全保险），设i=0.06，求这一保险的精算现值。解：555:2513278.98054A2、2死亡瞬时给付保险金的寿险模型及精算在前面的叙述中，都是假定保险金在死亡年的年末支付，这个假定虽然不一定反映现实的保险实务，但优点之处也非常明显，就是可以直接利用生命表及其它附表和计算公式来求出所要的结果。在这一节中，我们假定保险金是在死亡后立即给付，我们来计算类似问题的现值。5、2、1死亡瞬时给付的寿险现值我们假定，某人x岁的被保险人在x+t时刻死亡，于是在x+t时刻立即支付保险金1单位元，我们知道这1单位元在x岁的现值是。由P42（3·29）可知，x岁的投保人存活到x+t时刻并在（t，t+dt）的微小区间上死亡的概率为（相当于前面的）再根据终身寿险现值的概念，被保险人在t时刻死亡后立即给付1单位元的寿险现值为tvdtptxxtxttqdtpvtxxtt我们用表示在死亡瞬时给付1单位元的终身寿险的现值，它的模型就应该是：理由如下：因为：以及两边同乘所以：由极限的性质，当足够小时，有以下近似公式成立：它表示：x岁的人存活到x+t岁之后，在一个很短的时间内死去的概率。其中xA0dtpvAtxxttxtqxttx0limtqtxtttx0limttqpdtptxtxtttxxt0limttxtxttxxtqpdtptxtxtxttpqqdtpxt在李秀芳的《保险精算》中，死亡瞬时给付1单位元的终身寿险的现值的数学模型为：其中的为概率密度函数，它可以用生存函数来表达：对比我们前面给出的模型：应该有：容易证明，这两种数学模