浙江省各市2012年中考数学分类解析专题9三角形

第1页浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1.（2012浙江杭州3分）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则【】A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°【答案】C。【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°。在Rt△BOA中，∵∠AOB=90°，AB=1，∴BO=ABsin36°=sin36°。故本选项错误。B、由A可知，选项错误。C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离。在Rt△BOA中，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°。∴AO=AB•sin54°=sin54°。在Rt△ADO中，AD=AO•sin36°=AB•sin54°•sin36°=sin54°•sin36°。故本选项正确。D、由C可知，选项错误。故选C。3.（2012浙江湖州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】第2页A．20B．10C．5D．52【答案】C。【考点】直角三角形斜边上的中线性质。【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，∴CD=12AB=5。故选C。4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【】米．A．asin40°B．acos40°C．atan40°D．0atan40【答案】C。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，∴AB=atan40°。故选C。5.（2012浙江宁波3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=23，则BC的长为【】A．4B．2C．181313D．121313【答案】A。【考点】锐角三角函数的定义。【分析】∵cosB=23，∴BC2=AB3。又AB=6，∴2BC=6=43。故选A。二、填空题第3页1.（2012浙江湖州4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若m47n25，则△ABC的边长是▲【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为3x 2，2ABC133Sxxx224。∵所分成的都是正三角形，∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为3x3 2，较短的对角线为331x3=x1 232。∴黑色菱形的面积=21313x3x1x22228。∴22233xx2m4748=3n25x28，整理得，11x2－144x＋144=0。解得112x11（不符合题意，舍去），x2=12。所以，△ABC的边长是12。2.（2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①AGFGABFB；②点F是GE的中点；③AF=23AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是▲．第4页【答案】①③。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴AGFGCBFB。∵BA=BC，∴AGFGABFB。故①正确。∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=12AB=12CB。∴BD1tanBCDBC2。又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，AG1tanDBEAB2。∵AGFGCBFB，∴FG=12FB。故②错误。∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=13AC。∵AC=2AB，∴AF=23AB。故③正确。设BD=a，则AB=BC=2a，△BDF中BD边上的高=23。∴S△ABC=212a2a=2a2，S△BDF2121=aa=a233∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。因此，正确的结论为①③。三、解答题1.（2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．第5页【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12×3632。∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝1BC233＝。∴AD＝AC－CD＝6－23。答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－23)米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解。2.（2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°。（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。【答案】解：（1）∵sin∠BAC=BCAB，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。（2）∵tan32°=级高级宽，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。第6页【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。（2）由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。3.（2012浙江绍兴10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12AB，求∠APB的度数。探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=33DB=36AB。与已知PD=12AB矛盾，∴PB≠PC。②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC。③若PA=PB，由PD=12AB，得PD=AD=BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。探究：∵BC=5，AB=3，∴AC=2222BCAB534。①若PB=PC，设PA=x，则2223(4)xx，∴78x，即PA=78。②若PA=PC，则PA=2。③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。∴PA=2或78。【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。第7页【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数。探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。4.（2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=222.50.70.42而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由2221111BCACAB得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米。（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题。【答案】解：（1）222(x0.7)22.5；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8。（2）①不会是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，第8页∵2221111BCACAB，∴该题的答案不会是0.9米。②有可能。理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有222(x0.7)(2.4x)2.5，解得：x=1.7或x=0（舍去）。∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意。5.（2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）．【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。又∵ACtanABCBC，∴0AC5050BC=185.2tanABC0.27tan15。∴BD≈185.2﹣50≈135（米）。答：码头B、D的距离约为135米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC－CD可求得B、D的距离。6.（2012浙江台州12分）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任