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-1-2015年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】：集合关系中的参数取值问题．【专题】：集合．【分析】：由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解析】：解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】：本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．2．（5分）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：先根据角θ的终边过点（4，﹣3），求得cosθ的值，进而根据诱导公式求得cos（π﹣θ）的值．【解析】：解：∵角θ的终边过点（4，﹣3），∴cosθ=，∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，故选：D．【点评】：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．3．（5分）三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α【考点】：直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可．【解析】：解：若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，m有可能在平面α上，故A不正确；若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β可能相交，故B不正确；-2-若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故C不正确若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m∥n，从而可得m⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查空间中直线与平面间的位置关系，解题时要认真审题，注意立体几何中定理和公理的灵活运用，属于基本知识的考查．4．（5分）命题：①“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；②y=2x﹣2﹣x是奇函数；③若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；④若集合A∩B=A，则A⊆B，其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：①由“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，反之不成立，例如c=0，即可判断出真假；②利用函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假；③利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假；④利用集合运算的性质即可判断出真假．【解析】：解：①由“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，反之不成立，例如c=0，因此“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，是假命题；②∵f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），是奇函数，是真命题；③若“p∨q”为真，则“p∧q”不一定为真，是假命题；④若集合A∩B=A，则A⊆B，是真命题．其中真命题的个数有2．故选：B．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【考点】：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：计算题．【分析】：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．【解析】：解：∵直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，-3-∴a2b﹣（a2+1）=0，∴b=＞0，当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，综上，|ab|的最小值为2．故选C【点评】：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．6．（5分）已知直线Ax+By+C=0（A2+B2=C2）与圆x2+y2=4交于M，N两点，O为坐标原点，则等于（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】：平面向量及应用；直线与圆．【分析】：可以想着联立直线方程和圆的方程，将M，N点的坐标求出，所以需讨论A或B是否为0，这里可讨论A是否为0：A=0时，求出y，带入圆的方程，解出x，从而得出M，N的坐标，然后进行数量积的计算即可；A≠0时，可由直线方程求出x并带入圆的方程，会得到关于y的一元二次方程，解方程即得y，从而得到点M，N的坐标，同样进行数量积的运算即可．【解析】：解：（1）若A=0，B=±C，带入直线方程得：y=±1，带入圆的方程得，x=±；∴M（，1），N（，1），或M（，﹣1），N（，﹣1）；∴；（2）若A≠0，由直线方程得：，带入圆的方程并整理得：（A2+B2）y2+2BCy+C2﹣4A2=0；将A2+B2=C2带入上面方程得，C2y2+2BCy+C2﹣4A2=0；解得，；∴y=时，x=；y=时，x=；∴，N（）；∴==﹣2；综上得．-4-故选A．【点评】：考查联立直线方程和圆的方程求直线和圆交点的方法，不要漏了A=0的情况，一元二次方程的求根公式，以及点的坐标和向量坐标的关系，数量积的坐标运算．7．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）+a]有四个零点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2）B．[1，5）C．[1，2）D．[﹣2，5）【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：令f[f（x）+a]=0得f（x）+a=﹣1或f（x）+a=2，从而由函数f（x）=在两段上分别单调知f（x）+a=﹣1与f（x）+a=2都有两个解，作函数f（x）=的图象，由数形结合求解．【解析】：解：令f[f（x）+a]=0得，f（x）+a=﹣1或f（x）+a=2，又∵函数f（x）=在两段上分别单调，∴f（x）+a=﹣1与f（x）+a=2都有两个解，即f（x）=﹣1﹣a与f（x）=2﹣a都有两个解，作函数f（x）=的图象如下，-5-则，解得，1≤a＜2，故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的应用及函数零点与方程的根的关系应用，属于基础题．8．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用S△ABF=2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解析】：解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]-6-∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）9．（6分）已知函数f（x）=，则f（1）=1；若f（a）=2，则a=﹣4或2．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意代值可得f（1）的值，由f（a）=2可得或，解方程组可得．【解析】：解：∵f（x）=，∴f（1）=21﹣1=1∵f（a）=2，∴或，解得a=﹣4或a=2故答案为：1；﹣4或2【点评】：本题考查分段函数求值，属基础题．10．（6分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=，该几何体的表面积为2+18．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是一平放的三棱柱，根据它的体积求出a的值，再求它的表面积．-7-【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一平放的三棱柱，且三棱柱的高是3，底面三角形的边长为2，高为a；∴该三棱柱的体积为V=×2×a×3=3，解得a=；∴该三棱柱的表面积为：S=2S△+3S侧面=2××2×+3×3×=2+18．故答案为：．【点评】：本题考查了利用几何体的三视图求体积与表面积的应用问题，是基础题目．11．（6分）已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=4，且a1，a5，a13依次成等比数列，则该数列的通项公式an=n+3，数列的前6项和为1008．【考点】：等差数列与等比数列的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，求出公差d，再求出通项公式an，再有等比数列的前n项和公式求出数列的前6项和．【解析】：解：因为a1=4，且a1，a5，a13依次成等比数列，所以，则（4+4d）2=4（4+12d），解得d=1或d=0，又等差数列{an}的公差d≠0，则d=1，所以an=4+n﹣1=n+3，则数列的前6项和S=+=24+25+…+29==1008，故答案为：n+3；1008．【点评】：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，属于中档题．12．（6分）若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为7；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=a．-8-【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论．【解析】：解：当a=4时，：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域如图，若平面区域为三角形，则a＞0，由，解得，即A（1，1），由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S=（a﹣1﹣1）×（﹣1）=a（a﹣2）=4，整理得a2﹣4a﹣12=0，解得a=6或a=﹣2（舍），故答案为：7，6-9-【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13．（4分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为﹣1．【考点】：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2=（PA+PF）﹣1，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d1+d2的最小值．【解析】：解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1根据平面