期末考试知识点总结

绪论1.现代物理的三大分支：答：1理论物理2实验物理3计算物理第一章Matlab基础1.MATLAB的基本数据单元是矩阵2.MATLAB的基本类型数据答：（1）数值型数据：包括双精度、单精度、整型。（2）字符串型数据：用英文格式单引号加以界定的数字、字符、各种符号、表达式、方程式和汉字等。（3）符号型数据：用sym或syms把字符、表达式、方程、矩阵等定义成数学符号，运算结果为数学表达式。（3）Cell数组:每一个元素为一个单元的数组。（4）结构型:根据属性名组织起来的不同类型数据的集合。3.Matlab对数值矩阵提供了两种不同的运算方法：答：矩阵算法和数组算法矩阵算法：把矩阵看作一个整体，各种运算完全按照线性代数的矩阵运算法则进行，数组算法：把矩阵看作由其元素构成的一组数据（数组），各种运算是在参与运算矩阵的对应元素之间进行的数与数的运算，数组算法的运算符主要有.*./.\.^4.matlab的工作模式答：指令驱动模式m文件模式m文件有两类：脚本文件(ScriptFile):独立的m文件函数文件(FunctionFile):可调用的m文件5．程序的调试方法：1直接调试法2利用调试器直接调试法（1）去掉分号利用函数disp显示关键中间变量的值（2）在程序适当位置加入keyboard指令程序运行到这一指令时，会暂停执行，并在指令窗口中出现K提示符。此时用户可以输入指令查看各种变量的值，也可修改变量的值。输入RETURN后结束查看，原文件继续运行。（3）函数的直接调试把函数改写为脚本文件，并对输入参数赋值，以便检验计算结果。第二章实验数据的处理1.物理问题中的误差分类答：测量误差舍入误差截断误差模型误差偶然误差遵从正态分布，概率密度函数为：2121()2xfxe，μ:真值σ:标准误差曲线关于x=μ对称，当x=μ时f(x)取得最大值，即概率最大2.测量的离散程度：误差与偏差误差：测量值与真值之间的差偏差：测量值与平均值之间的差3.减小舍入误差的方法?答：（1）提高数据存储精度，单精度浮点双精度浮点（2）减少运算次数，防止舍入误差传播（3）改变算法，如防止大数吃小数，小数做除数4.为了防止计算结果失真，应该注意以下几个问题：答：（1）避免两个相近的数相减（2）避免除数太小（3）避免大数“吃掉”小数（4）优化算法，减少运算次数5.剔除错误值基本思想及常用方法答：规定一个置信水平，确定一个置信限度，凡是超过这个限度的误差，就认为它不属于随机误差的范围，是错误值，从而予以剔除。常用方法：拉依达方法：非等置信概率肖维勒方法：等置信概率一阶差分法：预估比较法6.一阶差分法及其特点（了解）答：一阶差分法是一种预估比较法，是用前两个测量值来外推即预估新的测量值，然后用预估值与实际测量值比较，并事先给定其允差限值，称作误差窗，以此来决定该测量值的取舍。特点：（1）适合于实时数据采集与处理过程（2）精度除了与误差窗的大小有关外，还与前两点测量值的精确度有关（3）如果被测物理量的变化规律不是单调递增或单调递减函数，这一方法将在函数的拐点处产生较大的误差，严重时将无法使用7.数字滤波的分类及平滑滤波答：数字滤波分为时域滤波和频域滤波，时域滤波对应平滑滤波平滑滤波是依据随机噪声的概率统计性质，通过适当运算，使噪声抑制到满意的程度。对一个按某种等间隔规律测得的数据序列，对某一位置处的数据，利用其前后的数据经某种运算后，得到一个新的平滑数据，从而得到一个新的平滑后的数据序列。8.单纯移动平均和加权移动平均答：单纯移动平均：在时域序列中，某一数据点前后对称地取出2n+1个数据（平滑宽度或平滑窗口），求其平均值作为结果序列中的数据，而取代原始数据。优点：方法简单，计算方便。缺点：方法误差：信号失真；数据丢失：前后各n个数据无法平滑。适用性：适用于变化缓慢的数据。平滑窗口越大，平滑效果越好，但失真也越大。加权移动平均：平均区间内中心处数据的权值最大，愈偏离中心处的数据权值愈小。这样就减小了对真实信号本身的平滑作用。9.代数插值答：代数插值，即函数y(x)是关于x的代数多项式。y(x)必须满足下列条件：①y(x)是一个不超过n次的多项式②在插值节点上没有误差10.拉格朗日插值和牛顿插值答：两者都是线性插值拉格朗日插值：利用两点式可以写出直线方程01010110()xxxxyxyyxxxx，上式可以看成是两个线性函数的组合，即：0101()())(yxylylxx牛顿插值：利用点斜式写出直线方程100010()()yyyxxxyxx，或改写为：100010()()()()()fxfxyxxxfxxx11.如何避免高次插值带来的振荡？答：使用分段插值。分段插值算法简单，而且具有良好的收敛性，只要节点间间距足够小，分段插值法总能获得所要求的精度，而不会出现高次插值带来的振荡。12.实验数据的插值答：a:线性插值和二次插值是多项式插值中最常用的方法。它具有简单、方便，计算量小的优点，但是由于仅利用了两个和三个数据点，所以精度较低。b:为了提高精度，可以利用高次插值多项式。为了达到计算精度，采用牛顿插值，逐步提高插值多项式次数，由于具有递推性，可以节约计算量。c:高次插值多项式具有数值不稳定的缺点，因此盲目提高插值多项式的次数可能会导致极差的结果，实践中一般采用低于5次的多项式插值。d:e:当节点较多时，可以采用分段低次插值，它具有较好的收敛性和稳定性，缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性。f:保证插值曲线在节点处不仅连续而且光滑，可采用样条插值方法。三次样条插值法比较常用，它可保证直到二阶导数的连续性，缺点是计算量较大。12.实验数据拟合的基本思想及可解决的两大类问题答：基本思想：使近似函数尽量靠近数据点，而不要求近似函数一定通过所有数据点。（1）物理规律已知，但描述物理规律的解析式中某些系数未知，可以利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，求出这些系数的近似值。（2）物理规律未知，利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，得到一个近似的解析式，用于描述物理规律。13.处理非线性拟合的物理方法答：方法一：变换为线性拟合。方法二：多项式拟合14.数值求解线性方程组的两种主要方法和特点答：直接解法:在计算过程中，如果所有运算都是精确的，在理论上，经过有限次运算就可以得到精确解，适用于变量较少的方程组。迭代解法:近似解法，运算次数因要求的计算精度而变化。15.拟合函数形式的确定答：（1）如果已知物理量之间存在某种形式的函数关系，只是由于偶然误差而造成数据离散，这时拟合方程与原函数关系具有相同的形式。（2）如果两物理量之间的关系式的形式不清楚，就需要先用观测数据在以物理量为坐标的平面上画出散点图，再按照散点分布的大致规律，粗略地分析判定拟合方程的形式，然后才能使用前面讨论的拟合方法。第三章常微分方程的数值解法1.欧拉数值解法答：欧拉数值算法就是由初值通过递推求解。递推求解就是从初值开始，后一个函数值由前一个函数值得到。求解微分方程方法的关键是构造递推公式。2.改进的欧拉方法的推导过程答：对于一阶常微分方程，000(,)()ndyfxyxxxdxyxy，由泰勒级数展开可知：（2）式乘h/2得到，2341()()()()()2224nnnnhhhhyxyxyxyxOh（1）式-（3）式，得到：231()()()()()2!nnnnhyxyxyxhyxOh略去高阶项，得到改进的欧拉方法递推公式为：1111()()(()())2()((,)(,))2nnnnnnnnnhyxyxyxyxhyxfxyfxy3.常微分方程几种解法的比较答：对于一般的常微分方程00(,)()dyfxydxyxy(1)欧拉方法:取前一点的斜率作为平均斜率，即：)(!2)()()()()(321hOhxyhxyxyhxyxynnnnn)(!2)()()()()(321hOhxyhxyxyhxyxynnnnn111(,)nnnnyykhkfxy整体截断误差：O(h)(2)向后的欧拉方法取后一点的斜率作为平均斜率，即：12211(,)nnnnyykhkfxy整体截断误差：O(h)(3)改进的欧拉方法:取两点斜率平均值，即：11212112(,)(,)nnnnnnhyykkkfxykfxy整体截断误差：O(h2)从以上三种方法的比较，可以推测：若取多点处斜率的加权平均作为平均斜率，精度会更高，这就是龙格—库塔法的基本思想。4.常微分方程初值问题数值求解基本思想答：（1）离散化求解区间离散，构造递推公式。（2）递推化利用递推公式逐步计算出解在一系列离散点上的值。从而得到原常微分方程的数值近似解。第四章偏微分方程的有限差分法1.有限差分解法的基本思想答：差分近似代替微分，差商近似代替微商。数学基础：泰勒（Taylor）展开（这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可以求解离散节点上的函数值。）2.差分格式的收敛性和稳定性答：收敛性：当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方程的解。稳定性：误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。3.利用差分法数值求解的偏微分方程的一般步骤答：（1）求解区域离散化；（2）构造差分递推格式；（3）定解条件；（4）利用差分格式计算。4.如何提高偏微分方程中有限差分解法的计算精度答：22h为了提高数值解的精度，必须减小hxdx。τ相应就要变小，这必然增加计算量。这就是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算简单。第五章偏微分方程的有限元法1.偏微分方程的有限元解法变分原理的含义答：一定边界条件下求解微分方程问题可以等价为泛函的极值问题。通过构造近似函数，把变分问题近似地转化为有限元子空间中的多元函数极值问题，由此直接探求变分问题的近似解（极值函数解）2.基于变分原理的有限元法的数学原理是什么？答：基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的数值解。3.有限元法的特点答：（1）有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。（2）优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点：①不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。②不必单独处理第二、三类边界条件。③离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。4.泛函和函数的变分答：泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即自变量为函数，而不是变量。设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为新函数Y(x)，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x)之差为函数y(x)的变分。)()(xyxYy泛函的极值问题可以通过变分运算产生一个微分方程和相应的边界条件，即欧拉方程，其解对应于最简泛函的极值函数。也就是泛函的极值问题可以等价为在一定边界条件下求解微分方程问题。变分原理通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解。有限元法正是里兹法与有限差分法相结合的成果，它取长补短地在理论上以变分为基础，在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想。5.有限元法基本做法答：（1）首先把待求的偏微分方程边值问题转化为等价的变分问题。（2）然后