期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设12,,为独立同分布的随机变量序列，若[],1,2,kEk则有11(lim)1nknkpn显然，若12,,,n是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值11nkkn当n很大时以概率1收敛于总体均值。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。设12,,为独立同分布的随机变量序列，若2[],[],1,2,kkEDk则有1(0,1)nkdknNn其等价形式为2111lim()exp(),22nxkkntnPxdtxn。◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动dSdtdWS其中，标的资产的价格S是时间t的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，dW是维纳过程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易成本。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利机会。6、无风险利率r为一个固定的常数。下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：设(,)VVSt，V是二元可微函数，若随机过程S满足如下的随机微分方程(,)(,)dSStdtStdWS则有22221((,)(,))(,)2VVVVdVStSStSdtStSdWtSSS根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值(,)VVSt的微分形式为22221()2VVVVdVSSdtSdWtSSS现在构造无风险资产组合VVSS，即有drdt，经整理后得到2222102VVVSrSrVtSS这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为(,)max0,TVSTSK，00(,)SVSTSS通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：()12(,)()()rTtVStSNdKeNd其中，221()2xdNdedx，21ln(/)(/2)()SKrTtdTt，21ddTt，T为期权的执行日期，K为期权的执行价格。欧式看跌期权的终边值条件分别为(,)max0,TVSTKS，0(,)0KSVSTS此外，美式看涨期权的终值条件为(,)max{0,}VStSK，美式看跌期权的终值条件为(,)max{0,}VStKS。然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。◆风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动dSrdtdWS即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到2ln()2dSrdtdW222lnln()()()~(()(),())22TtTtSSrTtWWNrTtTt2exp(()()())2TtTtSSrTtWW对数正态分布的概率密度函数：设2~(,)N，e，则的密度函数为221(ln)exp()0()2200xxPxxx根据上述公式，得到标的资产TS的密度函数如下222(ln()())21exp()0()2()200txrTtSxPxTtTtxx在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：(,)exp(())[max{0,}]QTVStrTtESK222222(ln()())12[max{0,}]exp()22(ln()())2exp()22QTKKxrTtSESKdxTtTtxrTtKSdxTtxTt接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换2ln()()2xrTtSyTt和uyTt，可以得到2222222ln()()2()()()221ln()()2(ln()())12exp()2211()22KSrTtuuKrTtrTtrTtTtKrTtSTtxrTtSdxTtTtSeeduSeeduSeNd再对等式的右边的第二个无穷积分，令2lnln()()2xSrTtuTt，可求得2222222lnln()()2222lnln()()2(ln()())2exp()2()211()22KSKrTtuuTtKSrTtTtxrTtKSdxTtxTtKeduKeduKNd将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：()()12(,)[max{0,}]()()rTtQrTtTVSteESKSNdKeNd其中，21ln()()2SrTtKdTt，21ddTt。可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。§2.蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量是随机变量的数学期望[]E，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列12,,,n，并计算样本均值11nnkkn。那么根据Kolmogorov强大数定律有(lim)1nnp。因此，当n充分大时，可用n作为所求量的估计值。由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量的方差2[]D，对于标准正态分布的上2分位数2Z，有22221()exp()122ZnZtpZdtn这表明，置信水平1对应的渐近置信区间是2nZn。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为2Zn，误差收敛速度是12()On。不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和n决定的。在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定，将n增大100倍；要么固定n将减小10倍。若两个随机变量12,的数学期望12[][]EE，12，那么无论从1或2中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。比较其误差，设获得i的一个抽样所需的机时为it，那么在时间T内生成的抽样数iiTnt，若使1212nn，则需使1122tt。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差2，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差2与机时t的乘积尽量的小。§3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即12[exp()(,,,)]QTPErTfSSS，其中的QE表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，12(,,,)TfSSS是关于标的资产价格路径的预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间[0,]T分成n个子区间0120nttttT，标的资产价格过程的离散形式是2111()()21()()iiiiirttttzjjiiStSte，~(0,1)izN(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现exp()max0,jjTCrTSK(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值11exp()max0,1exp()mjTmjjMCjrTSKCrTCmm另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由于exp()max0,jjTCrTSK，m条路径的收益均值为11mjmeaniCCm，m条路径的方差为2var11()1mjmeaniCCCm，则可得95%的置信区间为varvar[1.96,1.96]meanmeanCCCCmm。例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年（1年为100时间步），给定数据，06,0.1,0.25S，以及d＝100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：21(0.10.25)0.010.250.012()()iASttSte01020304050607080901005.755.85.855.95.9566.056.16.156.26.25MonteCarloPricePathSimulationPeriodPrice（1）01020304050607080901005.25.45.65.866.26.46.6MonteCarloPricePathSimulationPeriodPrice（2）图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：21(0.10.6)0.010.60.012()()iBSttSte21(0.50.25)0.010.25