浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习《专题五开放探索问题》基础演练新人教版

1《专题五开放探索问题》基础演练1.已知一次函数的图象经过点(0，1)，且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为________．解析设一次函数的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，∵一次函数的图象经过点(0，1)，∴b＝1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函数)．答案y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函数)2．写出一个不可能事件________．解析不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件．答案明天是三十二号3．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：________，可使它成为矩形．解析本题是一道开放题，只要掌握矩形的判定方法即可．由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD.答案∠ABC＝90°(或AC＝BD等)4．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x＞0时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为________(写出一个即可)．解析本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函2数三方面考虑，只要符合条件①②即可．答案y＝2x，y＝－x＋3，y＝－x2＋5(本题答案不唯一)5．先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：x2－4x2－4x＋4＋2－xx＋2÷xx－2.分析将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原式的分母、除式为0.解原式＝（x＋2）（x－2）（x－2）2＋2－xx＋2·x－2x＝x＋2x－2－x－2x＋2·x－2x＝（x＋2）2－（x－2）2（x＋2）（x－2）·x－2x＝8x（x＋2）（x－2）·x－2x＝8x＋2当x＝6时，原式＝1.6.(2012·广州)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．分析(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值3问题解答．解(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝CEBC，即sin60°＝CE10＝32，解得CE＝53；(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，∴AF＝FD，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，∠G＝∠DCF∠AFG＝∠DFC（对顶角相等）AF＝FD，∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，∵CE⊥AB，∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，∴AG＝5，AF＝12AD＝12BC＝5，∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，∴∠CFD＝∠AEF，∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2，在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x，∵CF＝GF(①中已证)，4∴CF2＝12CG2＝14CG2＝14(200－20x)＝50－5x，∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x＝－x2＋5x＋50＝－x－522＋50＋254，∴当x＝52，即点E是AB的中点时，CE2－CF2取最大值，此时，EG＝10－x＝10－52＝152，CE＝100－x2＝100－254＝5152，所以，tan∠DCF＝tan∠G＝CEEG＝5152152＝153.7.已知，如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的23？如果存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．解(1)当∠BPQ＝90°时，在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t.∵cosB＝BPBQ，∴BP＝BQ·cosB，即3－t＝t·12.解之，得t＝2.当∠BQP＝90°时，在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t，∵cosB＝BQBP，∴BQ＝BP·cosB，即t＝(3－t)·12.解之，得t＝1.综上，t＝1或t＝2时，△PBQ是直角三角形．5(2)∵S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×3×3·sin60°－12×(3－t)·t·sin60°＝34t2－334t＋934.又∵S四边形APQC＝23S△ABC，∴34t2－334＋934＝23×12×3×3×sin60°，整理得，t2－3t＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＜0，∴方程无实根．∴无论t取何值时，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的23.8．已知点A(1，2)和B(－2，5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．解法一设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，2)，B(－2，5)，则①－②得3b－3a＝－3，即a＝b＋1.设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1，故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1.又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1，故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.法二因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C(0，0)，则2＝a＋b＋c，5＝4a－2b＋c，c＝0∴a＋b＝2，4a－2b＝5.解得a＝32，b＝12，c＝0，故所求的二次函数为y＝32x2＋12x，用同样的方法可以求出另一个二次函数．