第二章油气渗流的数学模型

油气层渗流力学第二章油气渗流的数学模型主要内容§2.1概述§2.2渗流基本微分方程的建立§2.3典型数学模型§2.4定解条件§2.1概述一、建立数学模型的基础油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发的实际条件应用到生产当中去。渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学模型。§2.1概述一、建立数学模型的基础1、地质基础油气渗流是在具有一定孔隙结构的地质构造中进行的，这些外部条件对渗流规律及现象起着一定的影响和制约作用。只有对油气层的孔隙结构正确认识和描述才能建立合乎实际的数学模型，只有正确的描述油气层的几何形状、边界性质、参数分布，才能给出正确的边界条件和参数进行渗流计算。§2.1概述一、建立数学模型的基础2、实验基础建立数学模型的核心是正确认识渗流过程中的力学现象和规律，进行科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础。因此，进行渗流物理的基础实验是建立数学模型的关键。§2.1概述一、建立数学模型的基础3、科学的数学方法建立数学模型一般采用的方法是无穷小单元体分析法，即在地层中抽出一个无穷小单元体作为对象进行分析，根据在这个单元体内发生的物理及力学现象建立数学模型。建立数学模型后，还有用数学理论证明数学模型是有解的，并且解是连续的和唯一的。油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方面的因素：渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配；渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以需要建立流体和岩石的状态方程；§2.1概述二、油气渗流数学模型的一般结构质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微分方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程为基础；在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立描述这种特殊现象的特征方程。§2.1概述§2.1概述二、油气渗流数学模型的一般结构油气渗流数学模型运动方程（必需）流体和岩石的状态方程（弹性流体或介质）质量守恒（方程连续性方程—必需）特征方程（特殊渗流问题）能量守恒方程（非等温渗流）边界和初始条件（必需）§2.1概述三、建立数学模型的步骤1、确定建立模型的目的和要求渗流力学研究主要解决两类基本问题：单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速的分布及变化；在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和度和温度的分布及变化。因变量：自变量：Pv、、S、T(,,,),,,xyztrzt或§2.1概述稳定渗流自变量：不稳定渗流自变量：维数：地层物性参数：流体物性参数：(,,),,xyzrz或(,,,),,,xyztrzt或(,),(,,),,(,,,),,,xtrtxytrtxyztrzt或或或,,,tKKCC,,B常系数、变系数,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,PfxyztABvfxyztABSfxyztABtfxyzAB§2.1概述三、建立数学模型的步骤2、研究各物理量的条件和情况过程状况：是等温过程还是非等温过程；系统状况：是单组分系统还是多组分系统，或是凝析系统；相态状况：是单相还是多相或是混相；流态状况：是服从线性渗流规律还是非线性渗流规律，是否物理化学渗流或非牛顿流体渗流。§2.1概述三、建立数学模型的步骤3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系确定选用的运动方程确定所需的状态方程确定连续性方程确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函数关系§2.1概述三、建立数学模型的步骤4、推导数学模型所需的综合微分方程用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。§2.1概述三、建立数学模型的步骤5、根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致6、确定数学模型的适定性是否有解，解是否唯一，稳定性7、给出问题的边界条件和初始条件假设条件●单相微可压缩液体；●液体渗流符合线性渗流规律；●地层岩石均质微可压缩；●地层中为等温渗流过程。§2.2渗流基本微分方程的建立一、运动方程或写为：§2.2渗流基本微分方程的建立vzyxxvyvzvoMKvgradPxyzKPvxKPvyKPvz整理取全微分二、状态方程状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化规律的数学方程。1.液体的状态方程()流体质量§2.2渗流基本微分方程的建立11LLLLLLVdVCCVPVdPLMV0LLdMdVVd1LLLdVddCVdP1.液体的状态方程)(§2.2渗流基本微分方程的建立1LdCdP001PLPCdPd0()0LCPPe00[1()]LCPP分离变量积分231112!3!xexxx按麦克劳林级数展开，取前两项变化较小，看成常数410(1/)MPa岩石的压缩性对渗流过程有两个方面的影响：一是压力变化会引起孔隙大小发生变化，表现为孔隙度是随压力而变化的函数；二是由于孔隙大小变化引起渗透率的变化。由于岩石的压缩性，当压力变化时，岩石的固体骨架体积也发生变化，同时反映在孔隙体积的变化上。因此可以把岩石的压缩性看成孔隙度随压力发生变化，用压缩系数表示：2.岩石的状态方程)(§2.2渗流基本微分方程的建立11fpffffVdVCCVPVdP2.岩石的状态方程)(§2.2渗流基本微分方程的建立ffdCCdPddP00(,)(,)PP0000PffPCdPdCPPpVV积分0000()ffCPPCPP3.气体的状态方程)(§2.2渗流基本微分方程的建立气体的压缩性比液体大很多。表示气体体积随问题、压力和组分之间变化关系的方程，成为气体的状态方程。对理想气体，状态方程为：PVnRT理想气体状态方程表示的是理想气体P、V、T和M之间的关系。理想气体是指：（1）气体分子无体积；（2）气体分子之间无作用力。PVznRT对真实气体，状态方程为：三、连续性方程（质量守恒方程）在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在地层中任取一微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为质量守恒方程（或连续性方程）。微分法：无穷小微元体分析法。积分法：矢量场方法。§2.2渗流基本微分方程的建立一、单相渗流的连续性方程（微分法）在地层中取一微小的平行六面体单元如图：M点质量流速：分速度分别为：,,xyzvvvv则微元体在时间内，沿方向流入流出的质量流量差为：X方向：●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差:时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为：dt()2xxvdxvdydzdtx时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为：dt()2xxvdxvdydzdtxdtx()()()22xxxxxvvvdxdxvdydzdtvdydzdtdxdydzdtxxx同理可得在Y、Z方向流入流出的质量差为：();()yzvdxdydzdtyvdxdydzdtz时间内，纯流入微元体的流体质量为：dt()()()[]yxzvvvdxdydzdtxyz●●微元体封闭表面内的液体质量变化时间内，微元体中流体质量增加量为：dt()dxdydzdtt微元体内流体质量dxdydz●●●由质量守恒定律建立连续性方程()()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt简化：()()()()yxzvvvxyzt或：()()0divvt为微可压缩液体在微可压缩地层中满足达西线性渗流定律的连续性方程。的物理含义：质量流速为的M点，单位体积在单位时间内向包围曲面外流出的流体质量，反映该点源的强度。()divvv()0divv()0divv无源场有源场（正、负）不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：()0divv二、两相渗流的连续性方程1、油水两相渗流的连续性方程在油水两相渗流时，认为两相都是不可压缩的液体，且彼此互不相溶，也不发生任何化学作用。推导过程同单相液体，流入流出单元体的流体质量差为：()()()[]ooyooxoozvvvdxdydzdtxyz油水两相渗流时，油相经过六面体质量发生变化是因为油被水驱替，而使油相饱和度发生变化，由于油相饱和度发生变化引起的油相质量变化总量为：()ooSdxdydzdtt二、两相渗流的连续性方程1、油水两相渗流的连续性方程根据质量守恒定律，上两式应相等：()()()()ooyooxoozoovvvSdxdydzdtdxdydzdtxyzt()()()()ooyooxoozoovvvSxyzt同理可得水相渗流的连续性方程：()()()()wwywwxwwzwwvvvSxyzt二、两相渗流的连续性方程1、油水两相渗流的连续性方程如不可压缩液体在刚性地层中渗流，则＝C，＝C，＝C，则油水两相渗流的连续性方程为：ow()()()()()0()0wywxwz一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型由于是不可压缩液体，不必考虑状态变化。§2.3典型油气渗流数学模型KvgradP运动方程：质量守恒方程：()0divv将运动方程代入质量守恒方程中：()0()0KKdivgradPdivgradP为常数一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型§2.3典型油气渗流数学模型()0()0KKdivgradPdivgradP为常数222222200()()()()00gradPgradPgraPdPdivgrPPPPxPPxxyyyzzPzadxyz——单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流数学模型一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型适用条件：单相均质液体；线性运动规律；不考虑多孔介质及液体的压缩性；稳定渗流；渗流过程是等温的。§2.3典型油气渗流数学模型二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型因为是弹性介质，微可压缩液体，故模型由运动方程、状态方程和连续性方程组成。§2.3典型油气渗流数学模型KvgradP00()fCPP运动方程：状态方程：0()000[1()]LCPPLeCPP质量守恒方程：()()()()()()yxzvvvdivvxyztt二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型§2.3典型油气渗流数学模型()()divvt方程右端：20000002000000000001()()==()()()()()fLLfLfffLLCPPCPPCPPCPPCCPPCCCPCPPP