机器人及其控制第四章

第五章：预备知识向量a，b相乘122131132332321321bababababababbbaaakjiba可以表示为321121323000bbbaaaaaababa从而a为线性算子。而()Saa一般称为角速度矩阵。定理（夏莱定理）刚体最一般的位移可以分解为随任选基点的平动位移和绕通过基点的某个轴的转动。选择刚体上不同点为基点，这种分解不唯一；选择不同的基点时平动位移的长度和方向将改变，而转动轴的方向和转角不依赖于基点的选择。定义5.13R中的运动是一个可微映射3():rtIR其中I是实轴上的一个区间，而导数000()()()limxttrthrtdrtdthr称为0tI点的速度矢量。二阶导数022()ttdtdtrr称为0tI点的加速度矢量。定理5.2（惠更斯定理）存在唯一的刚体角速度的向量ω，使刚体上P点的速度为可以写成rωvv0其中0v是基点的速度，向量ω不依赖于基点的选择。证明（略证）：AρRR0AρAARρARRv00T因为3IAAT求导0TTAAAA得到TTAAAA两边求转置TTTAAAA从而其为反对称矩阵000XYXZYZTωωωωωωAA从而rωvAρAARv00T从而证明下面的Euler公式（定点转动）：rωr推论5.2（绕固定轴旋转的角速度计算公式）见课本证明：这个推论是建立关于角速度矢量的物理概念，根据第二章，有其中TzyxAkkkKsccos1sincos定义旋转矩阵的导数把()ttR写成两部分因此有即然后进行角度的微分变换，得到代入得到因此有其中因此角速度的物理意义是：在任一时刻，旋转坐标系方位的变化可以看作绕某个轴K的旋转。复合运动基本定义：设aOXYZ为固定参考系，而设Oxyz为运动参考系，设点P在空间中运动，它相对于坐标系Oxyz的运动为相对运动，而坐标系Oxyz相对于坐标系aOXYZ的运动为牵连运动，而点P对于坐标系aOXYZ的运动为绝对运动。定理5.3（速度合成定理）点的绝对速度等于牵连速度与相对速度之和。ρArωvρAρARv00即dddtdt0rrvω×r推论：点的绝对速度等于牵连速度和相对速度之和。aervvv刚体的复合运动设刚体相对坐标系1111zyxO运动，而坐标系1111zyxO本身又相对固定坐标系XYZOa运动，也就是说，刚体相对坐标系XYZOa作复合运动。类似可定义n个运动合成的复合运动。定理5.4（瞬时平动的合成）设1v是相对坐标系1111zyxO的平动速度，而设2v是坐标系1111zyxO相对于坐标系XYZOa的平动速度。选择刚体上任意点P来求其绝对速度为21vvva对于n个运动的情况，类似的可以得到平动速度：niia1vv定理5.5（瞬时定轴转动的合成）设刚体相对坐标系1111zyxO以瞬时角速度1ω转动，而坐标系1111zyxO相对于坐标系XYZOa以瞬时角速度2ω转动。则刚体的角速度为2ωωΩ1对于n个运动的情况，类似的可以得到等价的瞬时转动角速度：nii1ωΩ定义5.1：对于质点系,1,...,PN相对于固定笛卡尔坐标系运动，对向径r和速度v的限制（一般称为运动学限制）不因受力而改变，称为约束。如果系统不受约束，则系统称为自由，当存在一个或多个约束时系统称为非自由的。约束一般表示为(,,),1,2,...,ftsrv虚位移：质点在某时刻某位置所假象的能满足约束条件的无限小可能位移。注意：实位移和虚位移的区别。双面理想约束：10NiiiRrDAlembert原理：根据第二定律mFRr，可得()0mFRr这个原理称为DAlembert原理。一般()mr称为惯性力。定理5.6（动力学普遍方程，DAlembert-Lagrange原理）在双面理想约束下，研究N个质点,1,...,PN组成的系统，设F和R分别是作用在质点P上的主动方的合力和约束合力，于是得到如下方程：10NiiiiimrFr这个方程称为动力学普遍方程。定理5.7（静力学普遍方程，DAlembert-Lagrange原理）理想双面约束允许的01[,]tt内，可能平衡状态是在时间01[,]tt内的真实平衡状态的充分必要条件是，对于该时间内的任意时刻主动力在任意虚位移上所做的元功为零10NiiiFr这个方程称为虚功原理。证明：必要性，由动力学普遍方程，因为加速度iimr为零。因而得到静力学方程。充分性，假设drr，则有110NNiiiiiiimdFRrrr即21102Niiidmr这表明动能不会增加，系统处于平衡状态。定理5.7（刚体平衡的充要条件）刚体在01[,]tt内平衡的充要条件是在初始时刻0t刚体静止，主向量F和对任意选取基点的主力矩M在内等于零，即0,0FM证明：因为刚体是定常系统，所以在时间段dt内的真实位移就是虚位移。因此作用在刚体上的力系在虚位移上所做的元功为OOAdtdtFvMω其中为Ov基点速度，ω是刚体在01[,]tttt时刻的角速度。因为Ov和ω是任意的，因为由静力学普遍方程0A，可知结论成立。张量定义：N阶张量定义为个下标，即(,,,...)TT即N阶张量为N元函数。张量内积：将M阶张量A的一个指标和N阶张量B的一个指标取成重复指标，并对该重复指标求和（称为指标缩并），得到一个M+N-2阶张量C。Jacobi矩阵的数学求法()ijijaaAq即12()(,,...,)ijijijnaaaqqqq则31ijijijkkkkkaaaqqqqA可得TisisjskjskaaaqaqAA还原为3311111nnnkisiskjsjskijkskkskkkaaqaaqbqqq其中31kisijjsskabaq因为000XYXZYZTωωωωωωAA所以32111232323221213131313112212121211.........,,,nkkknXnknYkknZnknkkbqqbbbqbqbbbbbbqbqωωωω即ωJq其中11232323221213131312212121......,...,,,nnnnqbbbqbbbbbbqJq雅克比矩阵的数学求解方法：考虑齐次矩阵00001NRpT通过R求角速度，上面已经求出ωJq设xyzp则pvpqq其中121212.........nvnnxxxqqqyyyqqqzzzqqqpJq令vJvVJJω则VJq即雅克比矩阵已经求出。Jacobian矩阵symsxyz;f=[x*y*z;y;x+z];v=[xyz];R=jacobian(f,v)R=[y*z,x*z,x*y][0,1,0][1,0,1]