机器人的数学基础

1提纲2.1位置和姿态的表示2.2坐标变换2.3齐次坐标变换2.4物体的变换及逆变换2.5通用旋转变换2Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示1.位置描述在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.TzyxApppP][3Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR11BBRABTABAB333231232221131211rrrrrrrrrABR4Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.pBpApBpBpApBpBpAzzyxyyxxcossinsincospBpBpBpApApAzyxzyx1000cossin0sincos5Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标.3)可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.RABRABpBpARAB6Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示3.位姿描述刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即0BAABpRB7Robotics数学基础2.2坐标变换1.平移坐标变换坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:0BABAPPP8Robotics数学基础2.2坐标变换2.旋转变换坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:PRPBABATABABBARRR19旋转矩阵---举例[例1]已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW＝(4，3，2)T和bUVW＝(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。[解]uvwZxyzuvwZxyzbRbaRa0060,60,Robotics数学基础10旋转矩阵---举例[例2]已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ＝(4，3，2)T和bXYZ＝(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。[解]xyzTZxyzxyzTZuvwbRbaRa0060,60,Robotics数学基础11合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求点在固定参考坐标系下的位置。TuvwPo321'OxyzuvwPo'Oxyz解1：用画图的简单方法Robotics数学基础12解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）2313210101-00001'P21323110000101-0''P312213001-010100'''P（2-14）（2-15）（2-16）Robotics数学基础13上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：wvuzyxPPPRPPP33R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：),(),(),RR33xRzRy（定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换uvwO'OxyzRobotics数学基础14旋转次序对变换结果的影响Robotics数学基础15合成旋转矩阵为了表示绕OXYZ坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先绕OX轴转α角，然后绕OZ袖转θ角，再绕OY转ψ角；表示这种转动的旋转矩阵为如果转动的次序变化为，先绕OY转ψ角绕OX轴转α角，然后绕OZ袖转θ角，再绕OX轴转α角；表示这种转动的旋转矩阵为Robotics数学基础16除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得：1.两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个3×3单位矩阵I3。2．如果OUVW坐标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，则可对上述旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵。3．如果OUVW坐标系绕自己的一坐标铀转动，则可对上述旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵合成旋转矩阵规则先绕OY轴转ψ角，然后绕OW袖转θ角，再绕OU转α角；表示这种转动的旋转矩阵为Robotics数学基础17Robotics数学基础2.2坐标变换3.复合变换一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:(2-13)0BABABAPPRP18Robotics数学基础2.2坐标变换例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.0612;1000866.05.005.0866.0)30,(00BAABzRpR0562.13908.1106120562.7902.00BABABAppRp19•开始20•一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。kcjbiavzyxTwwzyxV式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数wxwywz显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵Robotics数学基础2.3齐次坐标变换--齐次坐标21[例]：kjiV543可以表示为：V=[3451]T或V=[68102]T或V=[-12-16-20-4]TRobotics数学基础2.3齐次坐标变换--齐次坐标22齐次坐标与三维直角坐标的区别•V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）•而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。xyzzzxV图2-2oRobotics数学基础2.3齐次坐标变换--齐次坐标23几个特定意义的齐次坐标：•[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数•[1000]T—指向无穷远处的OX轴•[0100]T—指向无穷远处的OY轴•[0010]T—指向无穷远处的OZ轴这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。Robotics数学基础2.3齐次坐标变换--齐次坐标24Robotics数学基础2.3齐次坐标变换1.齐次变换(2-13)式可以写为:(2-14)P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:(2-15,16)11010PPRPBBAABATBBBBTAAAAzyxzyx1,1PP10,0BAABABBABAPRTPTP25Robotics数学基础2.3齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.1000100010001),,(cbacbaTrans19061232100071003010400126Robotics数学基础2.3齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR100001000000),(100000001000),(100000000001),(cssczcsscycsscxRRR27Robotics数学基础2.3齐次坐标变换引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。例2-4：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。1273;;;1237;;;1000010000010010)90,(zR001032010077(,90);;;;;;100023000111Ry100426010374(4,3,7);;;;;;0017310000111Trans28举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90º)②R（y,90º）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：o′zyx74-3ow```u```v```v″u″w″zyxoo(o′)xyzuvwzyxu′w′o(o′)v′Robotics数学基础2.3齐次坐标变换—相对变换29解2：用计算的方法TTrans(4,-3,7)R(y,90)R(Z,90)0014100301070001以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90º；③绕当前轴转动90º；求合成旋转矩阵。vw（2-20）Robotics数学基础2.3齐次坐标变换—相对变换30解1：用画图的方法zyxo(o′)vwuzyxoo′w′u′v′ozyxo′w″v″u″xyzoo′w```u```v```解2：用计算的方法o00141003TTrans(4,-3,7)R(y,90)R(Z,90)01070001o（2-21）Robotics数学基础2.3齐次坐标变换—相对变换31Robotics数学基础2.3齐次坐标变换由矩阵乘法没有交换性，可知