机器人第六章-静力学与动力学.

1第六章机器人静力学和动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，难以用于机器人实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，是机器人动力学研究追求的目标。26.1机器人静力学一、杆件之间的静力传递1iF1iM1ix1iy在操作机中，任取两连杆，。设在杆上的点作用有力矩和力；在杆上作用有自重力〔过质心）；和分别为由到和的向径。iL1iL1iL1iO1iM1iFiLiGiCirCiriO1iOiC1izixiyiOiiGmgirCir1iO1iLiz3按静力学方法，把这些力、力矩简化到的固联坐标系，可得：iLiiiioxyz111iiiiiiiCiiFFGMMrFrG1011011011110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCiiFRFRGMRMrRFrRG或式中(为杆的质量)。0iiGmgimiL求出和在轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作，其大小为iFiMiziiiikFiikM41111110iiiiiiiiiiiiiiiFRFMrRRM当忽略杆件自重时，上式可简记为：iG5二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知,求和，称为动力学正问题）。2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知和，求,称为动力学逆问题）。一、研究目的：1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。6-2机器人动力学概述,,6三、动力学研究方法：1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。计算量O(n)。3．高斯原理法:利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏).用以解决第二类问题。计算量O(n3)。4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量O(n!)。7系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示，不是一定在直角坐标系中。动力学方程为：广义力广义速度广义坐标（力或力矩）（或）（或）iiidLLdtqqvd6.3二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。定义：L=K-PL—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。6.3.1刚体系统拉格朗日方程8一、动能和势能设二杆机器人臂杆长度分别为，质量分别集中在端点为，坐标系选取如图。2,1dd2,1mm以下分别计算方程中各项：221mvK对质点：1m222111111111111()222kmvmdmd势能：动能：1111cos()pmgd（负号与坐标系建立有关）对质点：2m先写出直角坐标表达式：)cos()cos()sin()sin(212112212112ddyddx6.3.2机器人拉格朗日方程11Pmgh9对求导得速度分量：x)2121)(2cos(212)2221221(222121222222)21)(21sin(21)1sin(12)21)(21cos(21)1cos(12ddddyxvddyddx动能：))(cos()2(212121212212222121222212122ddmdmdmK)21cos(22)1cos(122gdmgdmP势能：二、Lagrange函数1212()()LKPkkpp2222221211221122212211211()(2)cos()()22mmdmdmdd12112212()()cos()mmgdsmgd),,,(2121L10三、动力学方程先求第一个关节上的力矩222121221222221222121211)cos()cos(2)(ddmddmdmdmdmmL222122221221222221211)]cos([)]cos(2)[(ddmdmddmdmdmmLdtd222212212212)sin()sin(2ddmddm)sin()sin()(212211211gdmgdmmL22212122212212221222[()2cos()][cos()]mmdmdmddmdmdd221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()mddmddmmgdmgd—（1）11111()()dLLdLLdtqqdt111同理，对和微分，可求得第二关节力矩2212212222212222)cos(ddmdmdmL21221212212222212222)sin()cos(ddmddmdmdmLdtd)sin())(sin(2122212122122gdmddmL222)(LLdtd)sin()sin()]cos([2122212212222212212222gdmddmdmddmdm以上是两杆机器人动力学模型。—（2）12系数D的物理意义：—关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节处的加速度引起的关节处的力矩为（）iiDiiiiiiDJMii—关节和之间的耦合惯量。由关节或的加速度（或）所引起的关节和处的力矩为或ijDijjijjiiijDjiji—向心力项系数。表示关节处的速度作用在关节处的向心力（）ijjDji2jijjD—向心力项系数。表示关节处的速度作用在本身关节处的向心力（）iiiDi2iiiiD四、动力学方程中各系数的物理意义将前面结果重新写成简单的形式：2211111221111122211221DDDDDD2222112222111222221212221212DDDDDDD13—哥氏力项系数。两项组合为关节与处的速度作用在关节处的哥氏力，哥氏力是由于牵连运动是转动造成的。ijkDjkijkkjijkDDjki—关节处的重力项。重力项只与大小、长度以及机构的结构图形（）有关。iDimd21,比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：2211121222122[()2cos()]Dmmdmdmdd22222Dmd耦合惯量系数：21221222122cos()DDmdmdd14向心力项系数：0)sin()sin(22222122112212122111DddmDddmDDD哥氏力项系数：0)sin(22212122212121112DDddmDD重力项：112112212()sin()sin()Dmmgdmgd22212sin()Dmgd156.4机器人拉格朗日方程的一般表达形式从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性的微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。推导分五步进行：一、计算任意杆件上任意点的速度；二、计算动能；三、计算势能；四、形成Lagrange函数；五、建立动力学方程。212iiikmviiipmgh()iiidLLFdtqq16其速度为：一、点的速度r由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度。r对于杆坐标系中的一点，它在基础坐标系中的位置为iiriirTr式中—变换矩阵iT1()iiiiijjjdTrTdrrqrdtdtq速度平方为：22()()()rrrTracerr式中—矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。()Trace172()()rTracerr11()iiiiTiijkjkjkTTTraceqrqrqq11()iiTTiiiijkjkjkTTTracerrqqqq二、动能位于杆上处质量为的质点的动能是：iirdm111()2iiTTiiiiijkjkjkTTdkTracerrqqdmqq111()2iiTTiiiijkjkjkTTTracerdmrqqqq18则杆的动能（在基础坐标系中）为：i11..1()2iiTTiiiiiijkjkjklinkilinkiTTkdkTracerrdmqqqq令式中称为连杆的伪惯量矩阵。i.TiiilinkiJrrdm1112iiTiiiijkjkjkTTkTraceJqqqq则得到杆的动能为：i对于杆上任意一点的（在杆坐标系中）可以表示为：iiri(,,,1)iiiirxyz192....2....2.......iiiiiilinkilinkilinkilinkiiiiiiiTlinkilinkilinkilinkiiiiiiiiiilinkilinkilinkilinkilinkiiilinkilinkixdmxydmxzdmxdmxydmydmyzdmydmJrrdmxzdmyzdmzdmzdmxdmydm..ilinkilinkizdmdm根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：222222(),(),()xxyyzzIyzdmIxzdmIxydm对坐标轴的惯性矩：则有：20对坐标