机械优化设计第六章.

第六章约束优化方法第一节概述约束优化问题的数学模型：121212min()(,,,)..()(,,,)0(1,2,,)()(,,,)0(1,2,,)njjnkknfxfxxxstgxgxxxjmhxhxxxkl约束优化问题有解的条件：(1)目标函数和约束函数为连续、可微函数，且存在一个有界的可行域D；(2)可行域D应是一个非空集，即存在满足约束条件的点列：{(1,2,)}kxk第六章约束优化方法第一节概述约束优化问题的解法：•直接解法：仅含不等式约束的问题等式约束函数不是复杂的隐函数，且易于消元（随机方向法、复合形法）•间接解法：同时具有等式和不等式约束的优化问题（惩罚函数法）第六章约束优化方法第一节概述直接解法：基本思想：在可行域内按照一定的原则直接探索出它的最优点。步骤：在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点x0，然后决定可行的搜索方向d，再以适当的步长α，沿着d方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点x1，这就完成了一次迭代。接着以新点x1为起点，重复上面的搜索过程，满足收敛条件后，终止迭代。1(1,2,)kkkkxxdk可行的搜索方向第六章约束优化方法第一节概述直接解法：第六章约束优化方法直接解法的特点：①由于整个求解过程都是在可行域内进行的，所以，迭代计算无论何时终止，都可获得一个比初始点更好的设计点；②若目标函数是凸函数，可行域是凸集，则可保证获得全域最优解。③要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。第六章约束优化方法第一节概述间接解法：基本思路：原目标函数约束函数新的目标函数加权（约束优化问题）（无约束优化问题）第六章约束优化方法第一节概述间接解法：迭代过程：121212min()(,,,)..()(,,,)0(1,2,,)()(,,,)0(1,2,,)njjnkknfxfxxxstgxgxxxjmhxhxxxkl121211,,mljkjkxfxGgxHhx第六章约束优化方法第一节概述间接解法：第六章约束优化方法第一节概述间接解法的特点：①计算效率和数值计算的稳定性有较大提高。②可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。③选择加权因子困难。第六章约束优化方法第二节随机方向法随机方向法包括：•随机选择初始点•随机选择探索方向•随机选取探索步长等第六章约束优化方法第二节随机方向法随机方向法基本思路：在可行域内选择一个初始点，以某种随机的形式在初始点周围产生几个随机方向，从中选择一个使目标函数值下降最快的方向作为可行搜索方向。从初始点出发沿着该可行搜索方向搜索，得到一个新点。若新点满足约束条件，且函数值下降，则完成一次迭代。将始点移到新点，重复上面的过程，最终得到最优解。第六章约束优化方法第二节随机方向法随机方向法基本思路：迭代公式：1(0,1,)kkkxxdk111()()()0(1,2,,)kkkkkkjxxdfxfxgxjm探索：满足：第六章约束优化方法第二节随机方向法随机数的产生：353637123133221112,2,22657863rr5/q,1rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrqrr令，取（是小于的正奇数）：令，若，则；若，则；若，则；就是（0）区间内的伪随机数。ab()xaqba任意区间（，）内的伪随机数的计算公式是：第六章约束优化方法第二节随机方向法初始点的选择：•人为选择•随机选择法01(1,2,,)2(0,1)(1,2,,)3()(1,2,,)42iiiiiiiiiaxbinnqinxxaqbainxxxxx）输入设计变量的下限值和上限值，即；）在区间内产生个伪随机数；）计算随机点的各分量）判断随机点是否可行。若随机点为可行点，则取初始点；若随机点为非可行点，则转到步骤）重新计算，直到产生的随机点是可行点为止。随机选择法的步骤可行搜索方向的产生：121211(1,1)1(1,2,,)jjijjjnjjinirerrejkrr）在区间内产生伪随机数，得随机单位向量，0002k(1,2,,)jjxxejk）取一试验步长，按下式计算个随机点3(1,2,,)jLkxjkx）检验个随机点是否是可行点，除去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值，比较它们的大小，选出目标函数值最小的点。可行搜索方向的产生：000000600004()()()()1()()10()()1LLLLLLLxxfxfxxxfxfxfxfxxfxfxx）比较和两点的目标函数值，若，则取和的连线方向作为可行搜索方向；若，则将步长缩小，转到步骤），直至为止。如果缩小到很小（例如，），仍然找不到一个，使则说明是一个局部极小点，此时可更换初始点，找到步骤）。产生可行搜索方向的条件：L0L0L0(1,2,,)min1,2,,jjLLgxjmxfxfxjkdxxfxfx满足时，可行搜索方向为搜索方向产生的法则：法则一：如果沿着某一方向搜索得到了更大的目标函数，则相反的方向通常会导致较小的目标函数；法则二：如果沿着某一特定方向有过连续的成功搜索，则应使下一次搜索偏向这个方向；反之，如果沿着某一方向连续地有失败搜索则不鼓励下一次在该方向搜索。搜索步长的确定：可由加速步长法确定每次迭代的步长：α=τα（τ=1.3）随机方向法的步骤：000000L00L1(2)e(j1,2,,):(1,2,,)0(1,2,,)jjjLLjLxxkxxxejkxxgxjmfxfxdxxx选择初始点，并检验可行性条件即约束条件，若满足则进行下一步，否则重选。产生k个随机单位向量，在以点为中心以为半径的超球面上产生随机点。计算各随机点的函数值，并选出其中最小值的点，判断点是否满足和，若满足则取探索方向为，并从000001.30.71.30.72点出发沿d方向以加大的步长进行探索；否则减小试验步长至，再确定探索方向，并沿该方向跨步进行探索。(3)前一步探索所得的新点若继续满足可行性和函数值下降性要求，则继续加大步长进行探索，否则以缩短至的试验步长进行探索，直至目标函数值不再下降而又未被破坏约束条件为止。然后将探索所得的末点作为下轮探索的初始点，重复步骤。(4)当同一次迭代的初始点与末点0012**12|()()|||||,()()fxfxxxxxfxfx的函数值满足式和步长已达到时，则结束迭代计算，并取。（式中，为给定的收敛精度）随机方向法的步骤：第六章约束优化方法第三节复合形法复合形法的基本思路：•选择k（n+1≤k≤2n）个可行点，构造一个多面体（或多边形），称为初始复合形。•对复合形进行寻优迭代计算。即利用复合形各顶点处目标函数值的大小关系，判断目标函数值的下降方向，不断丢掉函数值最大的所谓最坏点（xH），用一个新点代替最坏点，构成新的复合形。如此重复计算，使新的复合形不断地向可行域的最优点移动和收缩，直至得到满足收敛准则的近似最优解为止。1)目标函数值下降2)可行点（满足所有约束条件）第六章约束优化方法第三节复合形法x2x4x3x11234()()()()fxfxfxfxxHxLxC初始复合形的形成：1）人为的给定k个顶点，构成初始复合形。2）给定一个初始顶点，随机产生其他顶点。人为地确定一个初始可行点x1，其余k-1个设计点用随机的方法产生，即()(1,2,,)iixarbajk产生的顶点不一定是可行点。假设已有q个点满足全部的约束条件，是可行点，其余k-q个点不是可行点，为了使它们也能满足所有约束条件，则可先求出所有满足点（可行点）的中心点：11qcjjxxq然后将不满足约束条件的非可行点向中心点移动：110.5qcqcxxxx若新点不可行，则继续移动，直到找到可行点为止。只要可行域是凸集，它的中心点一定是可行点，那么向中心点移动，一定能找到一个可行点。如果可行域为非凸集，中心点可能不在可行域内，可以通过改变设计变量的上限和下限值，重新产生各顶点来解决。初始复合形的形成：1）人为的给定k个顶点，构成初始复合形。2）给定一个初始顶点，随机产生其他顶点。3）计算机自动生成初始复合形的全部顶点。首先产生一个可行点，然后照着第二种方法产生其余的k-1个可行点。复合形的搜索方法：1.反射11:min1,2,...,:max1,2,...,:max1,2,...,,2k1113LHGLLjHHjGGjHCkCjjjHxxxxfxfxjkxfxfxjkxfxfxjkjHxxxxkx）计算复合形各顶点的目标函数值，并比较它们的大小，求出最好点、最坏点和次坏点：）计算除去最坏点以外的个顶点的中心：）一般情况下，最坏点HCCHHRRRCCHxxxxxxxxxx和中心点的连线方向是目标函数值下降的方向。以为中心，将最坏点按一定比例进行反射，有希望找到一个比最坏点的目标函数值小的新点，称为反射点,计算公式为：α称为反射系数一般取α=1.3复合形的搜索方法：1.反射40.70.7RRRHRHRHRHRCCHRHRxxxxfxfxxxfxfxxxxxfxfxx）判断反射点的位置：如果是可行点，则比较点和点目标函数值，如果，则用取代，构成新的复合形，完成一次迭代；如果，则将缩小倍，用式重新计算新的反射点，若仍然不行，则继续缩小，直到满足为止。如果是非可行点，则将缩小为原来的倍，用RCCHRRHRHRHxxxxxfxfxfxfxxx计算反射点，直到可行为止。然后重复上面的步骤，判别和的大小，一旦，就用取代完成一次迭代。()01,2,,jRRHgxjmfxfx复合形的搜索方法：1.反射反射成功的条件：RCCHxxxx()()()()()RRCEEERRCEECEHRHxfxfxxxxxxxxfxfxxxxx当求得的反射点是可行点，且目标函数下降量较多（如：时），则沿着反射方向继续移动，即采用扩张的方法，可能找到更好的新点，称为扩张点。计算公式为若扩张点是可行点，且时，则称扩张成功，用取代，构成新的复合形。否则就称扩张失败，仍然用反射点取代，构成新的复合形。复合形的搜索方法：2.扩张γ称为扩张系数。一般取γ=1xc()()()CCkkkHCHkHkHxxxxxxxxfxfxxx如果中心点以外找不到好的反射点，可以在内部，采用收缩的方法寻找较好的新点，称为收缩点。计算公式是：若，则称为收缩成功，用取代，构成新的复合形。复合形的搜索方法：3.收缩β称为收缩系数一般取β=0.7将复合形的各顶点向最好点靠拢。压缩后的各顶点的计算公式是：0.5()0.5()(1,2,,;)jLLjLjxxxxxxjkjL复合形的搜索方法：4.压缩复合形法的计算步骤：（1）选择复合形的顶点数k（n+1≤k≤2n），在可行域内构造初始复合形。（2）计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点，最坏点和次坏点。（3）计算除去最坏点xH以外的各顶点的中心xC，判别中心点xC是否可行，若可行转步骤（4）；若不可行，则重新确定设计变量的下限和上限值，令转到步骤（1）重新构造初始复合形。,LCaxbx（4）计算反射点xR，必要时改变反射系数α的值（取原来的一半），直至反射成功。然后，构成新的复合形。（5）判断是否收敛。若收敛条件得到满足，计算终值，约束最优解为否则转步骤（2）。复合形法的计算步骤：122111kjkjfxfxk**,LLxxf