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1逆动力学和冗余驱动内力并联式机器人许云窦，姚建涛，赵永胜——燕山大学机器人研究中心，中国河北秦皇岛，066004关键词：冗余驱动，逆动力学，变形协调，内力，伪逆，锻造操作机摘要：本文首先介绍了解决冗余方式进行驱动的并联机器人的逆力问题的新方法。考虑到支撑臂的弹性变形，所有支撑臂的弹性变形协调方程是基于能量守恒定律导出的，然后通过变形协调方程推导出冗余驱动并联机器人的逆动力学解。接下来，讨论了内力是否存在于冗余驱动并联机器人的逆动力学的伪逆解中，并讨论了支撑臂的刚度对内力的影响。最后，在一个冗余驱动锻造操作机2SPS+R被作为研究的例子下，适当的制动的力可以得到以坐标的锻造操作的弹性变形2SPS+R和避免破坏整个机械系统。1.介绍该并联机器人的冗余驱动最近已被广泛研究，因为它被认为对冗余驱动并联机器人有很多优势如避免运动奇[1〜3]，扩大负载能力[4]，改善动态特性[5]，消除反弹[6,7]等等。伴随冗余驱动，并联机器人的逆力问题不再是唯一解，可能的解有无穷多个。最近，已经取得了很多关于冗余系统的逆动力学的成果。郑禄[8]提出了许多算法负荷分配用于处理常见的两个串行操纵付费负载。首先，最少的能源消耗被选定为冗余问题的优化准则，结果表明，它计算复杂，不适合实时应用。然后提出与该对象有关的最小施加力的优化算法，从而获得了具有少得多的计算时间以及对实时应用有吸引力的少得多的分配负荷。Gardner等人[9]通过附加的约束方程解决了为步行机应用程序的封闭形式的动力分配。J.M.Tao和J.Y.S.Luh[10]把关节力矩的平方最小化来解决冗余。Nahon和Angeles[11]总结3种解决冗余驱动系统的优化方法，该系统使用的是明确的反转或正交分解，明确的拉格朗日乘子，并直接代换，分别加权伪逆的动力分配问题。Nahon和Angeles[12]描述的问题一只手抓住一个对象作为冗余驱动运动链并用二次规划（QP）与约束解决的扭矩，其中结果最小化的力量。Merlet[13]提出了两个成本函数来处理冗余：一个是最小化联合率，另一个是最小化力矩/力。他建议的方法是基于伪逆解。Zhao等人[14]提出了一种解决多个操纵器的负载分布处理一个对象的方法，考虑到最小加权关节扭矩规范为目标。通过选择权重矩阵的条目，关节扭矩的值可以相应地调整。考虑到所2有主要的系统符合性，Gao等人[15]提出了一种广义刚度矩阵的方法来解决机器人系统与不确定性的动力分配。Kerr等[16]采用的分支冗余并联机器人的弹性性能，解决执行器的扭矩/力。在本文中，冗余驱动并联机器人的支撑臂的弹性变形是要考虑，以获得驱动力/力矩的独特的解决方案。因此，首先我们需要得到变形在冗余驱动并联机器人的协调方程。Han和Chen[17]提出了一种基于运动学约束来求解过约束并联机构变形协调方程的方法。本文将基于能量守恒定律推导出冗余驱动并联机器人的变形协调方程。然后，冗余驱动并联机器人的逆动力学可以通过形成的协调方程来解决。冗余驱动并联机器人的内力，该内力对外部扳手并无作用[18-20]，与多手指抓握产生的压缩力不同。挤压力对对象并不造成影响，但有助于挤压[21]。内力在冗余驱动机械臂中有许多应用，M.A.Adli等[18,22,23]讨论了内力对封闭机制的刚度的影响，Nokleby等[24,25]利用内力化简冗余驱动并联机器人的力。白等人[19]指出去掉接头间隙和提高运动精度是内力的另一种利用。在本文中，冗余驱动并联机器人的内力将被用来协调支撑臂的变形以免破坏整个机械系统。Kumar等人[26]研究表明，使用伪逆解出关节力矩/力不产生挤压力。这个方法，但是，并不适用于具有非零系统接触扭矩。Walker等[21]提出了一种特殊的伪逆矩阵，它已被用来消除挤压力为非零接触扭矩。然而，对于冗余驱动并联机器人，情况不同于多手指，由于致动或约束扳手的轴被固定在一定的配置下。因此，在伪逆解冗余驱动并联机器人的逆动力学中是否存在内部力量有待进一步研究。2.冗余驱动并联机器人的逆动力学2.1基本概念：扭曲，约束扳手和扳手驱动3在螺旋理论[27,28]中，一个装置螺杆是由一个双矢量定，其中S=[LMN]T表示沿螺杆轴线，S0=r×S表示对螺杆轴的力矩的参考原点，r表示所述螺杆轴的任何点的位置矢量，h是螺旋的节距。螺丝幅度ρ被写成。一螺旋，和一组螺旋被说成是倒数如果它们满足以下条件：其中“∘”表示倒数之积，表示螺杆组的第j个螺钉。我们所说的螺旋扭矩，它表示一个刚体的瞬时运动，我们所说的螺旋弯矩，它表示一个力和作用于刚体的同轴对。如果一组螺旋，$表示与并行操纵器的支撑臂，则$r相关联的关节扭转倒数联合曲折，表示由并联机器人的相应肢体施加的移动平台上的约束弯矩。移动平台的运动完全由并联机器人的每个肢体的所有约束弯矩的综合效应决定的。在并联机器人的支撑臂的驱动关节的驱动扳手是任何一弯矩，是不是倒数到驱动关节的扭曲和倒数到其他关节的所有支撑臂中的曲折[29-32]。致动扳手的强度w和相应的致动的关节致动的力/转矩τ之间的关系可以表示为应特别注意的是，所有本文研究了约束和驱动扳手只限于纯粹的力或纯连接。此外，在并联机器人中使用的关节运动只转动关节，棱柱关节和转动关节和移动关节的组合。在一些情况下，致动弯矩不唯一地确定[29]。例如，对于一个单一的致动棱柱（P）关节，任何力的轴线不垂直于P关节的轴线可以是致动P关节的致动扳手。但是，为了简化计算，其轴线平行于P接头的轴线的力将被选择作为致动P关节优先的致动力。为不失一般性，下面的条件应进行选择时必须考虑到适当的致动弯矩中，为了简化计算。一，如果驱动弯矩是一个力，它的轴是垂直的约束反力的轴力应选择致动力优先。二，如果驱动弯矩是一连接，这连接的轴是垂直于约束力轴应选择驱动连接优先。2.2一般的冗余驱动并联机器人的说明4冗余驱动并联机器人的动力学包括向前动力学和逆动力学。前进动力是指，由于所需的驱动力/力矩，什么是加速度，速度，及配置机械手的移动平台，而逆动力学被称为该给定所需的加速度，速度，和配置中的机械手的移动平台的，什么是动作力/力矩。用于正向动力学，只存在一个独特的解决方案，而对逆动力学，不再有一独特的解决方案。可能的解决方案的无限存在的逆动力学，因此它是至关重要找到驱动力/力矩的妥善解决。因为在实践中每一材料具有柔韧性，每个支持的冗余驱动并联机器人的肢体的弹性变形将被考虑进去。然后所有的支撑臂的弹性变形的相容性方程获得，通过该致动力/力矩的唯一解而得。因此，所有的支撑臂的弹性变形进行协调，这就避免了破坏整个机械系统的。为了分析的目的，参考坐标系O-XYZ连接点在澳的移动平台，以及弯矩下面描述都体现在建立坐标系O-XYZ。图1一般的冗余驱动并联机器人为了缓解动力学方程的发展，假设所有的支撑臂是无质量的一个次所有关节都有摩擦。设$F适用于点O移动平台，其中包括重力和动平台的惯性弯矩外部弯矩。再考虑到移动平台上的受力平衡，下列等式的力平衡可以得到其中$r,j和$a,i分别表示约束扳手和驱动扳手的单位元；其中fj和wi分别表示约束扳手和驱动扳手的幅度；GEf代表向前的力雅可比矩阵，它可以表示为5f是约束和致动扳手的幅度，即构成的矢量外部扳手$F可以表示为假设所有的驱动和约束扳手穿过支撑臂的横截面的形心和支撑臂被视为敦实横梁。因此，我们可以认为有不同之间没有相互作用的影响负荷施加在支撑臂。当致动扳手$施加在支撑臂的横截面的形心℃的结果，支撑臂经受这被认为是小的弹性变形。注意，该横截面的形状是任意的。因为致动扳手被限制为纯力或纯力偶，它可以被分解成三个部分沿x1-，y1-，和z1-轴，分别为其中z1-轴表示支撑臂的轴线方向，x1-和y1-轴表示横截面的主轴线，如图2所示然后沿着x1-，y1-，和z1-轴可以作为得到的变形其中ka,ix,ka,iy,ka,iz分别表示支撑臂围绕x1-,y1-,z1-轴的平移或转动刚度，其中wix,wiy,wiz分别表示wi的x1-,y1-,z1-轴的组件。在支撑臂的总弹性变形为致动扳手$a,i的结果然后，可以得到如沿着致动扳手$a,i轴线的总变形的元件可推导出其中kea,i定义为驱动扳手$a,i刚度，这不仅与支撑臂的刚度有关，且与施加在支撑臂的驱动扳手的轴线位置有关。6图2：致动扳手和沿着致动扳手的轴线所得到的弹性变形同样作为约束扳手$r,j的结果中，支撑臂通过该约束扳手$r,j被征收经历了一个小的弹性变形沿约束扳手$r,j轴线，记为der,j由下式给出其中ker,j定义为约束扳手$r,j的刚度，于下式给出我们可以求助于力学知识用于解决下相应的驱动或约束扳手[34-36]的效果的支撑臂的弹性变形。假设冗余驱动并联机器人的动平台被认为是一个刚体，然后根据对能量守恒定律，通过驱动和约束扳手产生的变形能量的总和的规律和由施加在平台上的外部扳手产生的变形功必须为零[35,37]。因此，下面的可以得到方程其中D代表的小捻动平台为外部扳手$F的结果。重新排列方程（14）的矩阵形式联立方程（4）和（15）可得到使和7然后GFf改写成这里，A1是6×6矩阵。然后，方程（16）可以分成两个方程从上述方程中，当A1可逆时，我们得到结合式（18）和（19），该冗余驱动并联机器人的变形协调方程可以得到结合方程（10），（12）和（20）可推导出的致动和约束方程其中是6×6对角阵和W2=是（m-n）×（m-n）对角阵。重新整理上式结果得到其中0表示（m-n）阶零向量联立式（4）和（22）得到把矩阵[38]代入方程（23）右边推导出其中。用矩阵（24）左乘方程（23）得8矩阵（24）最后一列（m-n）对结果并没有作用，因为（m-n）列的每个元素总是乘以来自方程（25）的零，因此我们得到上述公式只是独特的解决方案冗余驱动并联机器人的逆动力学时，支撑臂的弹性变形考虑在内。由式（3）中，冗余驱动并联机器人驱动关节的驱动力/力矩然后可以得到其中τ是驱动关节的驱动力/力矩的矢量，w是致动扳手$的幅度的矢量，Σ表示m×m对角阵3.冗余驱动并联机器人的内力巧合的是，方程（26）右边的矩阵刚好等于其中。当致动扳手和约束扳手的刚度都相等时，方程（26）右侧的矩阵可以被简化，并且恰好等于伪逆的GFf9无论是否伪逆解决冗余驱动并联机器人或逆动力学不是下面将要讨论中存在的内力。一般的解决冗余驱动并联机器人的逆动力学由下式给出其中是GFf的伪逆，且可以定义为，I是（6-n+m）×（6-n+m）的单位矩阵，是于式（31）的解决定的任意向量。注意是对应于向外扳手没有作用的力，因为=0，所以是属于GFf的子集，即从矩阵的分析理论中可知，GFf的伪逆与[GFf]+d的伪逆产生一个最小阶数为2的解，且属于GFf的行，即基于线性代数理论，有因此，伪逆解冗余驱动并联机器人的逆动力学中存在的内力。而下面的语句就可以进行：当驱动和约束扳手的刚度都是平等的，解决了冗余驱动并联机器人的逆动力学不包括内力。当致动和约束扳手并不是所有的刚度相等时，溶液的逆动力学可表示为其中是一个特殊的向量，它可以为零也可以不为零。因此，有可能存在解决逆动力学中存在内力时致动和约束扳手并不是所有的刚度相等的情况，内力可以从上面的方程来获得10其中是内力的幅度的矢量。在这种情况下，内力被用来协调所有的支撑臂的弹性变形，从而可以避免破坏整个机械系统。