机械振动和波动.

1小号发出的声波足以使酒杯破碎2同年7月在大风中因产生共振而断塌我国四川綦江彩虹桥的断裂：武警跑步（引起共振）1940年华盛顿的塔科曼大桥建成3我国古代对“共振”的认识：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪《天中记》记载问张华。张华曰：此盘与宫中钟相谐，故声相应，可改变其薄厚。4振动依机理不同区分为机械振动、电磁振动，但描述和研究方法相同。广义而言：指任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。狭义的振动：指物体在其平衡位置附近的周期性往复运动。振动是一种重要的运动形式。本章重点：振动方程5振动类型共振(简谐振动）受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由谐振动66.1简谐振动的描述O-A+AxmFkxkaxm1.简谐振动（SimpleHarmonicMotion）：一、简谐振动的方程质点在弹性力（或准弹性力）作用下引起的振动以弹簧振子为例2.简谐振动方程：7kaxm①简谐振动微分方程：②简谐振动方程余弦形式O-A+Axm2km令：222ddxxtcos()xAtdsin()dxvAtt222dcos()dxaAtt此外：82km因为＝，所以有/kmcos()cos[()]cos()AtAtTAtT2T2T，即＝结合来阐明简谐振动各特征量的物理意义cos()xAt1.振幅：A2.周期、频率、角频率Tvω3.相位、初相位、相位差t22112121()()()()ttt由余弦函数的周期为2π得12T2vv＝＝，而T2m/k＝1/2vkm二、简谐振动的特征量9cos()xAtdsin()dxAttv222dcos()dxaAtt讨论：xA0Av0A00At0232A02a2A02A02A10比较两个同方向、同频率简谐振动的步调:212(0,1,2)kk－①当相位差振动同步或振动同相③当相位差为其它值时，②当相位差2121(0,1,2)kk－（＋）振动反步调或振动反相210－说明第二个振动超前第一个振动相位xt（b）Δφ=±(2k+1)πOA2A1txOA1A2（a）Δφ=±2kπ11简谐振动的描述方法cos()xAt解析式曲线法x～t旋转矢量法复数法i()iettxAAeiAAe~复振幅12解析式cos()xAtdπcos()d2xAttv222dcos(π)dxaAttv比x超前,()()22vxtt对应的时间差,24vxTtA与x反相,()()axtt,2axTt对应的时间差13xoωt0-=/2A-A=0omx0=AxA(伸长量)om0x0AxAomx0=0xAxt曲线a,v,xoωtvax14km0t例：已知振动系统的和及初始条件（时振子的坐标和速度），试确定该简谐振动。0x0v联立可得:将初始条件代入方程:解：由振动系统的和，可确定mkcos()xAtsin()vAt即0cosxA0sinvA22002vAx00arctan()vx三、振幅和初相的确定(即方程的建立)15物体沿x轴作谐振动，振幅为20cm，周期为4秒，t=0时物体的位移为10cm，且向x轴正方向运动，求:（1）初相;（2）t=0.5秒时，物体的坐标、速度和加速度；（3）物体在平衡位置处，且向x轴负方向运动的时刻开始计时的初相，并写出运动方程。例题1解:由振动方程cos()xAt（1）由题意120,422()42AcmTssT020cos10xcm0010,0,xcmv由运动方程得t=0时，1cos216所以300,3v因为只能取因此物体的运动方程为20cos()()23xtcm(2)t=0.5s时，物体的坐标、速度和加速度分别为20cos()2320cos(0.5)19.3()23xtcm20sin(-)22320sin(0.5-)8.13(/)223tcmsv222()cos()22()cos(0.5)47.6/22aAtAcms17(3)当物体在平衡位置处，且向x轴负方向运动的时刻开始计时000,0,0.txv即当时cos()xAt由0020cosx有所以322或00,2v因为只能取因此物体的运动方程为20cos()()22xtcm18单摆是不可伸长的轻绳(摆线)长为l,一端固定,另一端悬挂一质量为m的小球(摆球)所组成的系统,如图所示.当摆线与竖直方向成时,忽略空气阻力,求单摆振动的周期.例题2解:摆球受重力mg和张力T,所受合力沿圆弧切线方向分力即重力在这一方向的分力为,取逆时针方向为角位移的正方向,则此力应写成(5)o角lTFPmoAsinmgsinfmg(5),sin,o在角位移很小时一般认为所以fmg1922dmlmgdt由牛顿第二定律可得220dgdtl或gl此方程和简谐振动的微分方程形式相同.所以,在角位移很小的情况下,单摆的振动是简谐振动.单摆振动的角频率和周期分别为22gTl20AOBt=0P0xCcos()xAt1.取水平x轴,由原点O引出长度等于｜｜的矢量AA2.设想矢量以匀角速度绕原点O逆时针旋转，则矢量的端点P在x轴上的投影点N将在BC范围内来回运动。A；初始时刻，与x轴夹角为A3.时刻与x轴的夹角变为，端点P在x轴上的投影为()tAtNPtωt+xN点的速度sin()vAt四、简谐振动的旋转矢量法21OBxC0,0xv0,0xv0,0xv0,0xv根据初始条件利用旋转矢量图判断初相位P0OBxC0xA22初始条件所在象限初相位0000xxxx，v0，v0，v0，v0第一象限第二象限第三象限第四象限(0)2()2()2()2，，－，－－，0讨论：轴上：1xAA2（），v=0，a=-20xA（），v=-，a=0xAA2（3），v=0，a=0xA（4），v=，a=0022－23例1.质点作谐振动，初位置在(-A/2)处正朝-x方向运动，振动周期2s，求：初相和回到平衡位置的最短时间？解：用旋转矢量法？？2/A定出初相23回到平衡位置，振幅矢量至少再转过65所需时间：s6522652Tt矢量图示法用于计算，其特点是：直观、简便。o24例题2已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程.stmx04.002.0002.004.02方法一:解:设振动方程为cosxAt0.04Am由图知000,,02Atxv又由图知2433所以或0sin0vA23则得252,,02Atsxv由图知2cos(2)232sin(2)03AAvA所以252333或222325233取2得20.04cos()23xt由此得振动方程26方法二(旋转矢量法):解:yxaabbov0,,tax时质点位于点向轴负方向运动初相的确定：,a则对应的旋转矢量位于位置23所以初相位2,,tsbx时质点位于点向轴正方向运动角频率的确定：,则对应的旋转矢量位于b位置可见矢量旋转2t得20.04cos()23xt由此得振动方程27例题3已知简谐运动的图线，写出其振动方程.)(stx)(m1.01.0o135790.1,8AmTs解:由图知1214sT设振动方程为cosxAt由图知t=1s时,x=A,1cos()4AA1cos()14104140.1cos()44xt本题不好用旋转矢量法，因为初始的位置不能读出28例题4293031323334cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿着x轴振动。求：（1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时的质点的位置。解:15sin2.56FmaNNx0.2m此时＝，即质点在位移最大处受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI质量为1kg的质点，按方程由振动方程5sin(5/6)at（1）t=0时，sin(5)16t（2）当时，a最大maxmax5FmaN例题535可以看出：简谐振动总的能量是不变的，并且与振幅和频率的平方成正比。作简谐振动的振子对应的能量为212PEkx[sin()]vAt2221122kPEEEmAkA[cos()]xAt221cos()2kAt22221cos()[]2kmAtm212kEmv2221sin()2mAt6.2简谐振动的能量36讨论:(1)简谐振动总能量是一常量，根源在于振动过程中只有保守力做功，系统机械能守恒；(2)振幅A不仅给出了谐振动的运动范围,而且反映了振动系统的能量大小,即反映了振动的强度；(3)简谐运动系统的动能和势能大小时刻改变并且在振动过程中相互转化，但总机械能是守恒的，且总能量与振幅(A)平方成正比（如图）toEkEpEpkEEE37谐振动在一个周期内势能和动能各自的平均值20112TPEkxdtT222011sin()2TmAtdtT22011cos()2TkAtdtT214kA20112TkEmvdtT214kA谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能相等。质量为0.1kg的质点作简谐振动，频率＝10Hz，38sin()vAtcos()xAt在t=0时刻，位移＝0.1m，速度=2πm·s-1。求：（1）位移表达式；（2）加速度表达式；（3）振动的总能量。解:0.1cosA4A=0.141m，＝－0.141cos(20)()4xtm22cos()558cos(20)()4aAttms2212EmA代数据得2210sinA0x0v(2)2210.1(20)(0.141)3.94(J)2例题139例题2劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为的物体在水平面上作振幅为A的简谐运动。有一质量为的粘土，从高度为h处自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时（b）物体在最大位移时，落在物体之上分别求1m(1)振动周期有何变化;2m(2)振幅有何变化2mhh1mAox1m40解:(1)振动系统周期由弹簧振子的劲度系数和振子质量所决定，因此原振动周期为当粘土落在物体上时，系统的振子质量为，所以122mmTkk122mmTTk12mm（2）当粘土落到物体上时，物体和粘土的运动状态可发生变化，可能引起振幅的变化,物体和粘土为非弹性碰撞在平衡位置处，系统水平方向动量守恒，设物体在平衡位置时速度为v。则1m41112mvmmv则振动系统的最大速度112mvvmm由此可计算振动系统的振幅，有关系式22121122kAmmv2112121()()2mmmvmm211121()2mmvmm2211122mvkA112mAAA