机械振动学课件2.

振动概念（vibration）——物体经过它的静平衡位置所做的往复运动。或者说某一物理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变动。振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、交流电、电磁波、潮水的涨落等。2机械振动的研究对象和分类2.1研究对象——“振动系统”第一章绪论•系统的定义：由若干个元素构成的有机组合，个元素间存在着相互作用、互相影响的关系。•机械系统的定义：由若干个机械元件组成的系统。具体的讲，是由运动副连接的一些构件所组成的能完成一定运动的机械装置。第一章绪论2.2机械系统研究内容系统（S）输入（X）输出（Y）激励响应第一章绪论系统的研究内容包括三个方面：1.已知系统的输入（X）和系统（S）,求输出(Y)——系统的动力响应分析，或叫动态分析。2.已知系统的输入（X）和输出(Y)，求系统（S）——系统设计；系统识别或系统辨识。3.已知系统的系统（S）和输出(Y)，求输入（X）——环境预测。•自由振动：给图中质量块一个激励，给一个初始位移后，质量块就开始振下去。•强迫振动：用一个电机作元件，给系统一个持续激励，系统会在电机的强制激励下振动。•自激振动：扬声器的鸣叫声。3机械振动的分类3.1按输入分mk第一章绪论•简谐振动：符合正弦（预选）规律的振动。•周期振动：x（t）＝x（t+kT），•瞬态振动：风铃随风而动；地震•随机振动：不能用当前的现象预测未来，但是符合统计学规律，可以用统计的方法来研究。如，烟的运动；红旗的飘动。3.2按输出分第一章绪论•自由度：用来描述一个物体确定运动的独立坐标。•单自由度系统：•多自由度系统：可以是两个、三个甚至是n个自由度系统，n个独立坐标，n维空间。•连续系统：用偏微分方程描述3.3按自由度划分),...,,,,(vdxtHH可用微分方程描述第一章绪论•线性振动•非线性振动:二阶常系数线性齐次）(0kxxm3.4按微分方程分单摆振动方程）(0sinxkxm第一章绪论4主要参考文献•书+期刊书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、李有堂、张义民等期刊：《噪声与振动》（soundandvibration）第一章绪论第2章单自由度线性系统的振动2.1一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统2.3有线性阻尼自由振动2.4简谐激励力作用下的强迫振动2.8隔振原理2.5周期激励下的响应2.6任意激励下的响应2.7简谐力的功和等效阻尼2.2固有频率的计算第2章单自由度线性系统的振动当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系：)1-(122dtxdmF构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。构成机械振动系统的基本元素质量的单位为kg。第2章单自由度线性系统的振动阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x’的函数，阻尼力可表示为这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位N.s/m。)31(xcFd典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即Fs=Fs（x）。当Fs（x）是线性函数时，有：Fs=kx(1-2)k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。自由度与广义坐标自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。第2章单自由度线性系统的振动质量元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件xmFm平动：力、质量和加速度的单位分别为N、kg和m/s2。JTm转动：力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kgm2和rad/s22.1离散系统的组成第2章单自由度线性系统的振动第2章单自由度线性系统的振动2.1离散系统的组成弹性元件无质量、不耗能，储存势能的元件xkFs平动：力、刚度和位移的单位分别为N、N/m和m。tskT转动：力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为Nm、Nm/rad和rad阻尼元件无质量、无弹性、线性耗能元件xcFd平动：力、阻尼系数和速度的单位分别为N、Ns/m和m/s。tdcT转动：力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为Nm、Nms/rad和rad/s第2章单自由度线性系统的振动2.1离散系统的组成等效弹簧刚度斜向布置的弹簧2ecos/kxFkxx串联弹簧并联弹簧niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并联系统串联系统等效阻尼系数传动系统的等效刚度21te1t/ikk传动系统的等效阻尼ct1e=ct1/i221e1/iJJ等效质量传动系统的等效惯量单自由度系统的类型tQkxxrxmtQkxxmkxxrxmkxxmsinsin0000★单自由度无阻尼自由振动★单自由度有粘性阻尼的自由振动★单自由度无阻尼受迫振动★单自由度有粘性阻尼的受迫振动机械振动学第2章单自由度线性系统的振动例：如右图，舍振动体的质量为m，它所受的重力为W，弹簧刚度为k,弹簧挂上质量块的静伸成量为δj，此时系统处于静平衡状态，平衡位置为0-0，求给系统一个初始扰动后系统的振动方程。模型的建立机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统★无阻尼自由振动：振动系统受到初始扰动后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。静平衡振动系统产生弹性恢复力弹力≠重力静平衡破坏初始扰动机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统解：取静平衡位置为坐标原点，以X轴为系统的坐标轴，向下为正方向建立坐标系。以x表示质量块的受扰后的位移，当质量块离开平衡位置时，在质量块上作用的力有：XTWmgkxkTjW重力弹性恢复力x由于受力不平衡，质量块产生加速度机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统根据牛顿第二定律建立振动微分方程：xmxkwj)(0,022xxmkkxxmnn：则上式可写成令即叫做系统的固有频率2n二阶齐次常系数微分方程，stex机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统扭转振动问题例1-2：右图所示，垂直轴的下端固定一个水平圆盘。已知轴长为l,直径为d,剪切弹性模量为G,圆盘的转动惯量为I，在盘上施加初始扰动后（如力偶），系统做自由扭转振动。若不计阻尼影响，振动将永远持续下去。求系统的振动方程。机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统由材料力学知：扭转刚度为：324Gdk)/(J0JIsradkkkn系统固有角频率令即扭转振动微分方程为：建立如图所示坐标系，0)1(212nnsHzIkf代入微分方程得到：将系统振动的固有频率：机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统典型的单自由度自由振动——单摆例1-3：如左图所示，求t时刻刚体的角度是多少？机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统解：①以静平衡位置为原点，以θ角增加的方向为正方向建立坐标系。②隔离物体，进行受力分析。③使用牛顿定律建立振动模型：a)力矩形式：0sin0sinsinmglJmglJJmgl作为摆动时，即b)力形式：？机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统txtxtxxbxbbbxbbxtnnnnnnnnnncossin)(0sin0cos0cos0sin0000201210210时有：代入初始条件：1-2无阻尼单自由度系统的自由振动规律为：高等数学知方程的通解度和初位移均为零。此初始条件亦即：初速预先给定初始条件：考虑00002,0xxxxxxttn)sin(cossin)(21tAtbtbtxnnn.;;A2112221为频率三要素：nbbtgbb机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统结论单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的,规律是相同的，具有以下特点：1.单自由度无阻尼振动是简谐的。2.振幅决定于初始条件：)(;222120220bbAxxAn图中系统，用手把m移到X0位置，初始位移的大小决定于m的振幅，如果放手的同时，给m一个右向的初速度，可以通过上式计算出其最大振幅。机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统3.固有频率与初始条件无关。系统一定，固有频率一定。fTfmknn1;2;的特点，座钟。应用：利用“等时性”思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？结论机械振动学第2章单自由度线性系统的振动2.1单自由度无阻尼自由振动系统在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义，除用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。第2章单自由度线性系统的振动2.2计算系统固有频率的其它方法1、静变形法（StaticDeformationMethod）Wkj当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在关系式：由上式可得：jjmgWk故系统的固有频率为：)1(2121jngmkf由此可见，只要知道质量块处的弹性静变形，就可以计算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。例1设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。自由端有集中质量的悬臂梁解：悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为：EJmglj33)1(3213mlEJfn当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按（1）式计算系统固有频率。第2章单自由度线性系统的振动2.2计算系统固有频率的其它方法2、能量法（EnergyMethod）在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。式中：T－系统中运动质量所具有的动能；U－系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。0UTdtd即：T+U=常数或第2章单自由度线性系统的振动2.2计算系统固有频率的其它方法xkxmgxkxdxmgx0221222121kxkxmgxmgxU221xmT对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为：1.重力势能：当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。2.弹性势能：当质量块m运动至离静平衡位置距离+x时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。如下图所示，系统的弹性势能为：故系统的势能为：)2()(212122常数Ekxxm所以：系统的势能则由以下两部分组成：22xmmgx单自由度振动系统的弹性势能这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程，而无能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系