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机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版1．如图所示的扭转摆，弹簧杆的刚度系数为K，圆盘的转动惯量为J，试求系统的固有圆频率。(15分)图1解：如图建立坐标系设定坐标轴Z与摆线重合，初始时在重力作用下平衡，给圆盘一个相对于Z轴的微小扭转角Ф,使之做自由扭转震动,该系统的扭转振动的微分方程为:将上式化简后得：系统的固有频率：2．系统如图所示，其滑轮质量为M。忽略绳的弹性和M的转动（只考虑M的上下振动），试利用能量法确定系统的固有频率。(15分)机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版图2解：如图建立坐标系：方法一：通过微分方程求出固有频率物体平衡时，弹簧变形为：以物体平衡位置为原点，建立图示X坐标系，物块分力如图所示，其运动微分方程：对于m物块对于M物块整理可得：系统的固有频率：方法二：利用能量法确定系统的固有频率以系统平衡时重物的位置为原点。δx机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版系统的动能系统的势能由于d(U+T)/dt=0所以可得：其中可得系统的固有频率：或可表示为：设系统运动方程为若以平衡位置为势能零点，则系统势能系统的动能由于机械能守恒定律，即T+U=常数，则得可得系统的固有频率：3.某振动系统如图3所示，试用拉个朗日法写出系统的动能、势能和能量散失函数。（10分）m1m2x1x2Q1sinωtQ2sinωtk1r1k2r2k3r3图3机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版系统有两个质量块，设各质量块的位移x1(t),x2(t)为广义坐标，并设x1(t)x2(t)，系统地动能为系统的势能4.图4所示的系统，物体质量为1m，滑轮质量为2m，半径为R，试求系统的振动微分方程。（15分）图4以平衡位置为坐标原点，设小车偏离平衡位置x，弹簧K1对小车力为FK1，弹簧K2对滑轮力为FK2，小车对滑轮的力为F12，滑轮对小车的反作用力为F21对于小车可列微分方程对于滑块可列微分方程其中整理方程组可得系统振动微分方程：方法二:利用能量法确定系统的振动微分方程机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版以系统平衡时重物的位置为原点,设小车偏离平衡位置x，滑轮偏转系统的动能系统的势能由于d(U+T)/dt=0所以可得：整理方程组可得系统振动微分方程：5.如图5所示的单摆，其质量为m，摆杆是无质量的刚性杆，长为l。它在粘性阻尼系数为r的液体中摆动，悬挂点O的运动为tAtxsin)(。试写出单摆微幅摆动的微分方程式。（15分）图5根据动力学方程可得:整理可得动力学方程6.如图6所示的提升机，通过刚度系数mNK/1057823的钢丝绳和天轮机械设计矿山机电机设1001黄澈机械系统动力学2011版（定滑轮）提升货载。货载重量NW147000，以smv/025.0的速度等速下降。求提升机突然制动时的钢丝绳最大张力。（15分）解：物体等速度下降时，弹簧的变形为以平衡点为原点建立x坐标，建立其微分方程是代入化简后可得系统的固有频率当重物突然停止时刻，取时间t=0，作为振动的起点。则运动的初始条件为：初位移初始速度代入公式可得起振幅及初相位则物体的运动方程其最大张力=294186N