机电工程控制基础--02控制系统的数学模型

教学讲稿1河北工程大学HebeiUniversityofEngineering机电工程控制基础河北工程大学机电工程学院周雁冰机电工程控制基础2河北工程大学HebeiUniversityofEngineering第二章控制系统的数学模型2.1物理系统动态描述2.2非线性系统及其数学模型的线性化2.3系统的传递函数2.4系统框图及其简化2.5系统信号流图及梅荪公式2.6干扰作用下的反馈控制系统的传递函数机电工程控制基础3河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2.1物理系统动态描述一、数学模型1.定义2.种类3.研究领域定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间关系的数学表达式。微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频率特性、各种响应式等。•时间域——微分方程、差分方程、状态方程；•复数域——传递函数、脉冲传递函数；•频率域——频率特性。机电工程控制基础4河北工程大学HebeiUniversityofEngineering二、建立数学模型的方法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。实验法机电工程控制基础5河北工程大学HebeiUniversityofEngineering三、系统的微分方程1、微分方程在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。如：)()()()(txtkytyctym)()()(00tututuRCi2、列写微分方程的一般方法1）、确定系统的输入量和输出量；给定输入量、扰动量，检测得输出量机电工程控制基础6河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2）、按信号传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程；牛顿第二定律、克希荷夫电流（电压）定律等3）、消除中间变量,得到只包含输入量和输出量的微分方程；4）、整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂方式排列。如：)()()()()()()()(01)1(01)(0001)1(01)(0txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimmmimnnnn机电工程控制基础7河北工程大学HebeiUniversityofEngineering可以用线性微分方程描述的系统称为线性系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf可加性：)()(xfxf齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：和的响应等于响应之和。机电工程控制基础8河北工程大学HebeiUniversityofEngineering(1)直线运动遵循的定律：牛顿第二定律xmmaFxccvFckxFkc，c—粘性阻尼系数，k—弹性系数元素：质量m、弹簧k、粘性阻尼器c质量元件：阻尼元件：弹性元件：maF四、系统微分方程的列写1.机械系统机电工程控制基础9河北工程大学HebeiUniversityofEngineering例2-1列写下图所示机械系统的微分方程kmcf(t)x(t)解：1)明确系统的输入与输出，输入—f(t)，输出—x(t)kmf(t)x(t)x(t)c·maF2)进行受力分析，列写微分方程，利用，得)()()()(txmtxctkxtf3)整理微分方程，得)()()()(tftkxtxctxm图2-1机电工程控制基础10河北工程大学HebeiUniversityofEngineering(2)转动JkJcJ)(tJT)(tcTJcJ)(tkTJkJ，cJ—回转粘性阻尼系数，kJ—回转弹性系数，J—转动惯量元素：惯量J、扭转弹簧kJ、回转粘性阻尼器cJ惯量元件：回转弹性元件：回转阻尼元件：例2-2如图所示为一齿轮传动链，输入量为轴Ⅰ的输入转矩T，输出量为轴Ⅰ角位移θ1，试写出其微分方程。机电工程控制基础11河北工程大学HebeiUniversityofEngineering根据牛顿定律列写微分方程组为，消去中间变量T1、T2、θ2，得到系统的微分方程为i由此可知，减速器的速比越大，转动惯量、粘性阻尼系数等折算到电动机轴上的等效值越小，因此在一般分析中常可忽略不计，但第一级齿轮的转动惯量和粘性阻尼系数影响较大，应该考虑。Z2Z1θ2T2T1θ1TJ2、B2J1、B1ⅠⅡ解：为了便于列写微分方程，我们在系统上增加一些中间变量T1，T2，它们分别是轴Ⅰ的输出转矩与轴Ⅱ的输入转矩，即如图所示，机电工程控制基础12河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2.电气系统遵循的定律：克希荷夫电流定律、克希荷夫电压定律Ati0)(元素：电阻R、电感L、电容CiRE电阻元件：电感元件：RUiRiURRRR,dtULidtdiLULLLL1,dtdUCidtiCUCCCC,1电容元件：机电工程控制基础13河北工程大学HebeiUniversityofEngineeringucur例：RLC电路输入量：输出量：(1)确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组(3)消除中间变量，使式子标准化根据基尔霍夫定律得：微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RLC电路是二阶常系数线性微分方程。+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=Ri++ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2机电工程控制基础14河北工程大学HebeiUniversityofEngineering线性定常系统微分方程的一般形式为，)()()()()()()()()(1111011110mntxbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaimimmimmimononnonnon在零初始条件下，分别对方程两边进行拉普拉斯（Laplace）变换，有)()()()(01110111sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn则)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio)(sXi)(sXo)(sG拉普拉斯变换的数学方法线性定常系统（LinearTime-invariantSystems）又称之为线性时不变系统，满足线性性与时不变性。机电工程控制基础15河北工程大学HebeiUniversityofEngineering应用拉氏变换解线性微分方程求解步骤：1、将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；2、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；3、应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程机电工程控制基础16河北工程大学HebeiUniversityofEngineering实例：设系统微分方程为：)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo若xi(t)=1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)(6)(6sXtxLoo机电工程控制基础17河北工程大学HebeiUniversityofEngineeringstLsXtxLii1)(1)()(对微分方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo61065121sssA212)3(12sssA313)2(13sssA机电工程控制基础18河北工程大学HebeiUniversityofEngineering)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB)0()0()0(2)0()0(3312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当x'o(0)=0、xo(0)=0时：机电工程控制基础19河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2.3系统的传递函数输出拉氏变换设一控制系统输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统G(S)对零初始条件的理解：t≤0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0；机电工程控制基础20河北工程大学HebeiUniversityofEngineering例1：质量-弹簧-阻尼系统的传递函数：)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：系统的传递函数为：例2：R-L-C无源电路网络的传递函数：)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：系统的传递函数为：机电工程控制基础21河北工程大学HebeiUniversityofEngineeringnm传递函数的性质：传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出。传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关。各系数均为实数，是因为它们都是系统原件参数的函数，而元件参数只能是实数。传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数。传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分母、分子的阶次是：。，这是由于物理系统具有惯性。传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当nm()()()GsCsRs／()()rtt()1Rs111()()()()()ctLCsLGsRsLGs机电工程控制基础22河北工程大学HebeiUniversityofEngineering零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点