直线与平面、平面与平面垂直的性质课件

理解教材新知突破常考题型应用落实体验题型一题型二第二章2.32.3.3&2.3.4第一课时第1部分跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二题型三2．3.3&2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(新授课)直线与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国台北的国际金融中心大厦高508米(含天线)，马来西亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高451.9米，中国广州的中信广场大厦高391米(如右图)问题1：中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？提示：平行．[导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线______．(2)图形语言：平行(3)符号语言：_______________⇒a∥b.(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．a⊥αb⊥α[化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.平面与平面垂直的性质[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)．问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．[导入新知]平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则_____________垂直于_____的直线与另一个平面_______．(2)图形语言：一个平面内交线垂直(3)符号语言：______________________________________⇒a⊥β.α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l(4)作用：①面面垂直⇒_____垂直；②作面的垂线．线面[化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．线面垂直性质定理的应用[例1]如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：平面BCE⊥平面CDE.[证明]取CE的中点G，连接FG，BG，AF.∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝12DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.则GF∥AB.又∵AB＝12DE，∴GF＝AB.则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.[类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]1.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.证明：(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝12AE.∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.又∵CD＝12AE.∴FG∥CD，FG＝CD.∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE.∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF.∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.面面垂直的性质的应用[例2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.[证明](1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，则PG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.∵BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．则BG⊥AD.又∵AD∩PG＝G，且AD，PG⊂平面PAD.∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又∵BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]2.如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC.证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AD⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.线线、线面、面面垂直的综合问题[例3]已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明](1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．[活学活用]3.如图，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例]已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是()A．3B．2C．1D．0[解析]如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案]C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC.∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．答案：D2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.答案：C3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是________．解析：由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直．也可能平行，故③不正确．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.答案：平行5．如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明：如图所示：连接AB1，B1D1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.