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第3课时几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为．基础知识梳理长度面积体积几何概型2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：基础知识梳理P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）基础知识梳理思考？古典概型与几何概型的区别？【思考·提示】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为()A．0.25B．0.5C．0.6D．0.75答案：D三基能力强化2．如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为()答案：A三基能力强化A.2πB.1πC.23D.133．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为()A．7.68B．16.32C．17.32D．8.68答案：B三基能力强化4．(教材习题改编)如图，有一杯1L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为________．答案：0.1三基能力强化5.(2009年高考辽宁卷改编)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离小于1的概率为________．三基能力强化答案：π41．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为课堂互动讲练考点一与长度有关的几何概型P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．课堂互动讲练课堂互动讲练例1公交车站点每隔15分钟有一辆汽车通过，乘客到达站点的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3分钟的概率．【思路点拨】在任一时刻到达站点都是一个基本事件，基本事件有无限个．又在任一时刻到达站点是等可能的，故是几何概型．课堂互动讲练【解】这里的区域长度理解为“时间长度”，总长度为15分钟，设事件A＝{候车时间不超过3分钟}，则A的长度为3分课堂互动讲练钟，由几何概型得P(A)＝315＝15.【名师点评】解题时，首先要判断是古典概型还是几何概型．“几何概型”的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件A都转化为与之对应的区域的测度．课堂互动讲练1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练考点二与面积(或体积)有关的几何概型P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.课堂互动讲练例2已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【思路点拨】本题第(1)问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第(2)问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．课堂互动讲练【解】(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．课堂互动讲练(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率课堂互动讲练∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.P2＝625.【规律小结】几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，其特点是它的试验结果在一个区域内均匀分布，所以几何概型的概率的大小与该事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关．利用几何概型的概率公式P(A)＝求解思路一样，都属于“比例解法”．课堂互动讲练A的测度Ω的测度，求概率的思路与古典概型的概率例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋y2≥4的概率．课堂互动讲练互动探究P＝4×4－π·224×4＝1－π4.解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求概率生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性的判断；课堂互动讲练考点三生活中的几何概型(2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．课堂互动讲练课堂互动讲练例3(解题示范)(本题满分12分)两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．【思路点拨】两人不论谁先到都要等课堂互动讲练迟到者40分钟，即23小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－23≤x－y≤23，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.8分课堂互动讲练当且仅当－23≤x－y≤23.3分因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为课堂互动讲练P＝S阴影S单位正方形＝1－(13)212＝89.12分课堂互动讲练【误区警示】此题易误算为P＝4060＝23，原因在于把面积问题误认为是(时间)长度问题，两人能够会面用图中阴影部分表示更准确，此处容易表示错．(本题满分12分)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率．课堂互动讲练高考检阅解：设甲、乙两船到达码头的时刻分别为x，y，则0≤x≤24,0≤y≤24.3分∵两船不能会面，∴必须甲比乙早到1小时以上，即y－x≥1，或者乙比甲早到2小时以上，即x－y≥2，如图建立平面直角坐标系，则(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而两船不可能会面的时间由图中阴影部分表示，记A表示“两船都不需等课堂互动讲练即它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率为0.879.12分课堂互动讲练待码头空出”，则P(A)＝SA1＋SA2S正＝12(24－1)2＋12(24－2)2242≈0.879，10分1．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．规律方法总结2．对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安