李建军-半导体器件模拟及数值分析第三章二极管的特性模拟

《微电子器件及工艺CAD》1国际微电子中心1第三章二极管的特性模拟哈尔滨工业大学(威海)微电子中心王新胜《微电子器件及工艺CAD》2国际微电子中心2第二章介绍了用有限差分法解微分方程的基本步骤，从这一章开始，将用有限差分法研究半导体器件的电性能。即讨论半导体器件的有限差分法数值模拟。pn结是构成半导体器件的基本功能单元。因而，数值模拟将首先从这个基本单元入手，进而推广到其他半导体器件。《微电子器件及工艺CAD》3国际微电子中心3Pn结中的电势分布§3-1Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》4国际微电子中心43.1.1一维Poisson方程及其边界条件一维Poisson方程np)x(qdxd22当pn结两端加有电压V时，如图3-1所示，pn结中就有电流流过。假如pn结两侧的杂质是对称的，则耗尽层宽度2a对称分布在pn结两侧。-a0aaav图3-1Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》5国际微电子中心53.1.1一维Poisson方程及其边界条件pinikTqnpkTqnnexpexp我们知道载流子浓度是器件内部静电势及费米电势的函数。当pn结中有电流流过时，准费米电势随位置变化，且电子和空穴没有统一的费米电势。在小电流近似下，载流子浓度p和n可以表示成仅是单一变量的函数。对于空穴而言，在这种近似下，我们在第二章已经推导出空穴电流方程ppppgradqJ一维情况下pqJdxdpppPn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》6国际微电子中心63.1.1一维Poisson方程及其边界条件此式说明，除非空穴浓度p非常低（一般器件内部不存在这个问题），否则，在小电流近似下，的梯度近似为零，既不随位置而变。另一方面，势垒区宽度很窄，准费米电势的变化极小，也可以忽略其变化。但在空穴扩散区内，由于空穴浓度很低，空穴准费米电势随位置x变化显著。pqJdxdppppPn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》7国际微电子中心73.1.1一维Poisson方程及其边界条件pqJdxdppppn0n根据以上分析，可得出空穴准费米电势在P区及耗尽区内维持恒定（等于外加电压V），进入N区后逐渐下降为零。同理，电子的准费米势在N区及耗尽区维持不变，并等于N端的外加电压值零，即，进入P区后才逐渐上升，最后上升到V，如图3-2所示。Pn结中的电势分布图3-2P区耗尽区N区-aaaa0pnVpnp《微电子器件及工艺CAD》8国际微电子中心83.1.1一维Poisson方程及其边界条件图3-2于是，空间电荷区的电子和空穴浓度可写成pinikTqnpkTqnnexpexpkTqenenpenennViiiipn)()()(Pn结中的电势分布P区耗尽区N区-aaaa0pnVpnp《微电子器件及工艺CAD》9国际微电子中心93.1.1一维Poisson方程及其边界条件将上式代入一维Poisson方程)V(i)(ii)(ienenpenennpnnpxqdxd)(22得enenxqdxdiVi)(22)(Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》10国际微电子中心103.1.1一维Poisson方程及其边界条件将上式代入一维Poisson方程得enenxqdxdiVi)(22)(无论用什么方法解上述Poisson方程，都须知道的边界条件。)x(假设电极边界位于，在这些点处电中性条件应该满足ax0enen)a(ax0enen)a(ax)a(i)a(i'']V)a([i)]a(V[i''''''Pn结中的电势分布pnenkTqnpenkTqnnipiiniexpexp《微电子器件及工艺CAD》11国际微电子中心113.1.1一维Poisson方程及其边界条件Pn结中的电势分布由0enen)a(ax0enen)a(ax)a(i)a(i'']V)a([i)]a(V[i''''''iiiinanaananaVa2)(2)(1ln1)(2)(2)(1ln1)('2'''2''得《微电子器件及工艺CAD》12国际微电子中心123.1.1一维Poisson方程及其边界条件Pn结中的电势分布1)n2)a((n2)a(xee01xn)a(x0x1xn)a(0eeneen)a(2i'i')a(Vi'2i'V)a(i)a(Vi''''0enen)a(ax0enen)a(ax)a(i)a(i'']V)a([i)]a(V[i''''''取以e为底的对数。《微电子器件及工艺CAD》13国际微电子中心133.1.2线性缓变pn结中的分布一般pn结是用合金、扩散或者外延技术形成的，可以用几种简单的模型加以描述，如突变结和线性缓变结。对于扩散形成的pn结，可以做线性缓变结近似。特别是当结深较深时（象许多功率器件中的情形）这种近似就特别的确切。因此，从理论和实际两种观点来看，把线性缓变结做为入手问题进行讨论是有道理的。)x(线性缓变结杂质分布mxNNxad)(m为线性缓变结杂质浓度梯度Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》14国际微电子中心143.1.2线性缓变pn结中的分布)x(为简单起见，我们研究稳态情况，即V=0，这时，Poisson方程为enenxqdxdiVi)(22)(enenmxqdxdii22考虑到线性缓变结的对称性，只需考虑一侧的情况，假设N区边界位于W，在[0,W]的区域内沿x方向等距离网个化，如图3-3所示，网格距为h，边界位于x(0)=0及x(L)=W，共有L+1个网个点，L-1个内网个点。0xPn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》15国际微电子中心153.1.2线性缓变pn结中的分布)x(0h2h(L-1)hWx(0)x(1)x(2)x(L-1)x(L)图3-3将方程写成差分形式enenmxqdxdii221,,2,1,)()()1()(2)1()()(2LNNhNxenenNmxqhNNNNiNi其中上面的方程共有L-1个，而有L+1个未知数，第一个网格点x(0)及最后一个网格点x(L)的函数由边界条件决定。Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》16国际微电子中心163.1.2线性缓变pn结中的分布)x(于是可以得到具有L-1个未知数，L-1个方程的方程组。]1)n2mW(n2mWln[1)L(2ii0)0(0该方程组是非线性方程组，故要用牛顿迭代法求解。令0称为初始解Pn结中的电势分布)(1)()()(00NeeNNN将方程中的指数项用Taylor级数在初值附近展开，并略去高次项。得enenmxqdxdii22《微电子器件及工艺CAD》17国际微电子中心173.1.2线性缓变pn结中的分布)x(1,,2,1)1()(2)1()()(2)()()1()()()1(000)()(2)()(20000LNNNNenenNmxhqNfeehnqNbNfNNNbNNiNiNNi代入整理得上式是一组关于得线性方程组，选定后，b(N)和f(N)均为常数。)N()N(0Pn结中的电势分布1,,2,1,)()()1()(2)1()()(2LNNhNxenenNmxqhNNNNiNi其中《微电子器件及工艺CAD》18国际微电子中心183.1.2线性缓变pn结中的分布)x()(max)()()()1()2()2()1()1()2()2()1()1(10010)2(101)1()()()1()(NNNNfALfLfffLLLbbbfAkkkk直到迭代矩阵形式Pn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》19国际微电子中心19K=1输入(x),,ni,,X(N)=Nh,N=1,2,…L-1开始计算边界条件及初值KM结束K=K+1计算b(N),f(N)追赶法求出(N)(N)＝(N)＋(N)max|(N)|YesNoNo打印结果YesPn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》20国际微电子中心20选取初值202)(12)(ln1)(iinNmxnNmxNPn结中的电势分布《微电子器件及工艺CAD》21国际微电子中心21§3-2二极管特性模拟-稳态二极管特性模拟-稳态《微电子器件及工艺CAD》22国际微电子中心22剖面图二极管的稳态特性《微电子器件及工艺CAD》23国际微电子中心23npNNqdivgradadpppnnndivJqUGtpdivJqUGtn11pgradqgradpqDJngradqgradnqDJpppnnnxpqxpqDJxnqxnqDJpppnnn一维形式npqx220xJq1UG0xJq1UGpppnnn3.2.1基本方程和边界条件1.基本方程二极管的稳态特性《微电子器件及工艺CAD》24国际微电子中心24假设产生率与复合率对电子和空穴是相同的ppnnpnJJqGGG1UUUGGGpnpn轻掺杂，即不包含禁带变窄效应。载流子的产生率为)()(112ppnnnpnUnpiSRHpn,分别为电子及空穴的雪崩碰撞电离率。和为n型材料和p型材料中少数载流子寿命。pnkTEEexpnpkTEEexpnntii1iti1如果杂质能级itEE，)()(2inipiSRHppnnnpnU则二极管的稳态特性《微电子器件及工艺CAD》25国际微电子中心25x＝0x＝w此外，由于pn结的两个端点是高掺杂的，复合速度很高，不能存在非平衡载流子，即满足热平衡条件。0)w(n)w(p)w(0)0(n)0(p)0(2.边界条件参考右图，p区和n区的终端分别位于x=0和x=w。在pn结两端加正向电压V，电压几乎全部落在耗尽区上，而耗尽区是不可能扩展到两个端点的，所以两个端点满足电中性条件。2i2in)w(n)w(pn)0(n)0(p二极管的稳态特性《微电子器件及工艺CAD》26国际微电子中心26)()(,1)(212)()()0()0(,1)0(212)0()0(22122212wnnwpwnwwnpnnnpiiii得边界条件(关于载流子浓度)二极管的稳态特性0)w(n)w(p)w(0)0(n)0(p)0(2i2in)