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2．3.3直线与平面垂直的性质2．3.4平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．【核心扫描】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力，能准确解决相关问题，提升转化能力．(重点)2．性质定理的推导与熟练应用．(难点)自学导引线面垂直、面面垂直的性质定理名称知识点线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理定理内容垂直于同一个平面的两条直线.两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面.平行交线垂直符号形式a⊥αb⊥α⇒a∥bα⊥βl⊂αl⊥m⇒l⊥β图示试一试：由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？提示可能平行，也可能相交．名师点睛1．对直线与平面垂直性质定理的几点认识(1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在直线与平面垂直的条件下，可得出直线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．2．平面与平面垂直的性质定理(1)定理成立的条件有两个；①两平面垂直；②直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直或线线垂直．(3)定理还说明了若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内．(4)解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直．3．线、面垂直的转换关系线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．题型一线面垂直性质定理的应用【例1】如图，在正方体A1B1C1D1—ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为此需作出辅助平面．证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，就应考虑线面垂直的性质定理．【变式1】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点.证明(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON綉12CD綉12AB，∴ON∥AM，又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．题型二面面垂直性质定理的应用【例2】如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．[思路探索]根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.法一在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.又PA∩PB＝P，且PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.法二在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，∴m∥β.又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【变式2】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.题型三线面、面面垂直的综合应用【例3】如图所示，已知在矩形ABCD中，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于点E，过点E作EF⊥SC交SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G.求证：AG⊥SD.审题指导利用线面垂直性质证明垂直问题．[规范解答](1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(6分)(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.(12分)【题后反思】空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的．【变式3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.解(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.误区警示误把结论当题设【示例】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱BB1的中点，求证：平面ADC1⊥平面A1ACC1.[错解]∵D是棱BB1的中点，∴BD＝B1D.又∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴AB＝B1C1，∠ABD＝∠C1B1D，∴△ABD≌△C1B1D.∴AD＝C1D.取AC1中点E，连接DE，则DE⊥AC1.而AC1是平面ADC1与平面A1ACC1的交线，∴平面ADC1⊥平面A1ACC1.要证的是平面ADC1⊥平面A1ACC1，错解中把它作为了条件．[正解]如图，取AC1中点E，连接DE，取A1C1中点F，连接EF、FB1，则EF綉12A1A.又∵D为B1B中点，∴B1D綉12A1A.∴EF綉B1D.∴四边形EDB1F为平行四边形，∴DE∥B1F.又∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴△A1B1C1为正三角形，∴B1F⊥A1C1.又平面A1B1C1⊥平面A1ACC1，∴B1F⊥平面A1ACC1，∴DE⊥平面A1ACC1.而DE⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面A1ACC1.有时候利用面面垂直的性质定理来寻找垂线，但是证明时要分清求证的结论与题设．