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第一章三角函数§1．1任意角和弧度制第一课时1.1.1任意角教学目标：1、理解任意大小的角：正角、负角和零角；2、掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同的角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.②讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角）③示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.）⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合呢？⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。2.教学例题：①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）②出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析k的取值→试练→订正）③讨论：上面如何求k的值？（解不等式法）④练习：写出终边在x轴上的角的集合，y轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？⑤出示例3：写出终边直线在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来.（师生共练→小结）3.小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1.写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y=-x呢？2.作业：书P5练习3③④、4、5题.第二课时：1.1.2弧度制（一）教学目标：1、掌握弧度制的定义；2、学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1.写出终边在x轴上角的集合.2.写出终边在y轴上角的集合.3.写出终边在第三象限角的集合.4.写出终边在第一、三象限角的集合.5.什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1.教学弧度的意义：①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：lr＝''lr.②讨论：lr是否为定值？其值与什么有关系？→结论：lr＝180n=定值.③讨论：lr在什么情况下为值为1？lr是否可以作为角的度量？④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.用rad表示，读作弧度.⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？⑥探究：完成书P7表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝lr.用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？2.教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730'；35rad.分析：如何依据换算公式？（抓住：180=rad）→如何设计算法？→计算器操作：模式选择MODEMODE1(2)；输入数据；功能键SHIFTDRG1(2)=②练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3；2；120°；135°；150°；54③讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在y轴上.3.小结：弧度数定义；换算公式（180=rad）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1.教材P9练习1、2题.2.用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y=x；终边在第二象限；终边在第一象限.3.作业：教材P105、6、7题.第三课时：1.1.2弧度制（二）教学要求：1、更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算.2、掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角.3、掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1.提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2.弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75°3.口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：用弧度制推导：S扇＝12LR；212SR扇.分析：先求1弧度扇形的面积（12πR2）→再求弧长为L、半径为R的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.②练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③出示例：计算sin3、tan1.5、cos4（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）②练习：求6、4、3的正弦、余弦、正切.2.练习：①.用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.193π、－675°②用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在y轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？③讨论：α＝k×360°＋3与β＝2kπ＋30°是否正确？④α与－94的终边相同，且－2πα2π，则α＝.⑤已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.3.小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.三、巩固练习：1.时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2.一扇形的中心角是54°，它的半径为20cm，求扇形的周长和面积.3.已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是.4.作业：教材P10练习8、9、10题.§1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那．22coscossin2sin2⑵x么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr;cosOMaOPr;tanMPbOMa.思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOP;cosOMaOP;tanMPbOMa.思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；（3）yx叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22s