方向向量法向量及空间线面关系的判定

一、直线的方向向量空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.eABle二、平面的法向量Anl给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3),,0000xyzaxbycznanbaxbycz根据法向量的定义建立关于的方程组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向量不惟一，合理取值即可。设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则12//ll12//ee12ee；线面平行12//12//nn12.nn注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行面面平行三、平行关系：11//l11en110en；线线垂直线面垂直1212nn120.nn12ll12ee120ee；11l11//en11en；面面垂直四、垂直关系：设直线12,ll的方向向量分别为12,ee，平面12,的法向量分别为12,nn，则巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.巩固性训练3////llllABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面例1如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMNA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例2.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE，11(0,,1)2DF又因为00nDAnDE则由，得所以1DFADE平面ADEnxyz设平面的一个法向量为=(，，)000102xxyz12xyz则=0，不妨取，得01-2n所以=(，，)//1DFn所以11110011例：如图，在直三棱柱-中，=90，=30，=1，=6，是棱的中点。求证：。ABCABCACBBACBCAAMCCABAMBCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz例4．如图，正方体中，E为的中点，证明：//平面AECDCBAABCDDDDBDABABCCDE例5：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFDABDPEFC例6：如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.求证：045ABC3.SABC2SABDO所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010例7：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF例8：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10＝AMAD1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：例9（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；2BDCDCBCA2ADABCADBOE