江苏省2013年专转本高等数学(二年级)真题和答案

江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试高等数学试题卷（二年级）注意事项：1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1、当0x时，函数()ln(1)fxxx是函数2)(xxg的()A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小2、曲线22232xxyxx的渐近线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3、已知函数sin20()011xxxfxxxx　　　　，则点0x是函数)(xf的A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、连续点4、设1()yfx，其中f具有二阶导数，则22dydxA.231121()()ffxxxxB.431121()()ffxxxxC.231121()()ffxxxxD.431121()()ffxxxx5、下列级数中收敛的是A、211nnnB、1()1nnnnC、1!2nnnD、13nnn6、已知函数)(xf在点1x处连续，且21()1lim12xfxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为A.1yxB.22yxC.33yxD.44yx二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、设函数1sin0()0xxfxxax　　　在点0x处连续，则常数a▲．8、已知空间三点(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ABC，则ABC的面积为▲．9、设函数)(xyy由参数方程2311xtyt所确定，则221xdydx▲．10、设向量ba,互相垂直，且，，23ba，则ba2▲．11、设10lim()xxaxeax，则常数a▲．12、幂级数12nnnxn的收敛域为▲．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限01limln(1)xxexx．14、设函数(,)zzxy由方程3331zxyz所确定，求dz及22zx．15、求不定积分2cos2xxdx．16、计算定积分22024dxx　　．17、设函数223(,)xyzfxe，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2zyx．18、已知直线10330xyzxyz平面上，又知直线23132xtytzt与平面平行，求平面的方程．19、已知函数()yfx是一阶微分方程dyydx满(0)1y的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()yyyfx的通解．20、计算二重积分Dxdxdy，其中D是由曲线24(0)yxx与三条直线,3,0yxxy所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、设平面图形D由曲线2xy，yx与直线1y围成，试求：（1）平面图形D的面积；（2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22、已知211320()(95)xFxttdt是函数()fx的一个原函数，求曲线)(xfy的凹凸区间与拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23、证明：当1x时，2(1ln)21xx．24、设函数()fx在[,]ab上连续，证明：函数2()[()()]abbaafxdxfxfabxdx．江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试高等数学（二年级）试卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、08、629、3410、211、lnyxxcx12、11[,)22三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=20001ln(1)ln(1)1limlimlimln(1)2xxxxxxxexexexxexxxxxx2013(1)lim22xxxxeexex14、令32(,,)331,3,3,33xyzFxyzzxyzFyFxFz22222233,,33133111yxzzFFzyyzxxyxdzdxdyxFzzyFzzzz22222222223()(2)()2211(1)(1)(1)zzyyyzyzzyzxxzzxxxzzz15、22221111cos2sin2sin2sin2sin2cos22222xxdxxdxxxxxdxxxxdx22111111sin2cos2cos2sin2cos2sin2222224xxxxxdxxxxxxC16、令2sin,2cos,0,0;2,2xtdxtdtxtxt，则原式=222220000222cos12coscos12(1)22cos1cos2cos2cos22tttdtdtdtdttttt　　　　222002011tan12222cos2ttdtdt　　17、2232323232212223,(22)36xyxyxyxyzzfefxfeeefyyx18、直线方向向量12(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),(3,1,2),SS平面的法向量12(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),nSS在第一条直线上任取一点(1,1,1)，该点也在平面上，所以平面方程为6(1)(2)(1)10(1)0xyz即3570xyz19、由dyydx得111111,,ln,,xCCCxxxdydxdydxyxCyeeeyeeCeyy，由(0)1y得1C,所以xye，即212,320,1,322xeryyrrry，齐次方程的通解为212xxYCeCe.令特解为,,xxxyxAeyAexAe，,xxxyAeAexAe代入原方程得：,1xxAeeA，所以通解为212xxxyYCeCexe20、原式=333cos4cos4420002127coscos(8cos)33cosrdrrdrdd　　　　　2401142(27tan8sin)(27tan8sin)933443.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、（1）13123200215(2)(2)333Syydyyy（2）0222502221010821[1()][1()]()()42802510xxxxVxdxdxxx22、25233()2(95)1810,fxxxxxx23()3020fxxx，13()20200,fxx解得1x，另外0x为二导不存在的点，通过列表分析得：在(,0),(1,)凸，在(0,1)凹，拐点为(0,0),(1,8)。五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23、令2()21(1ln),(1)0.fxxxf1()22(1ln),(1)0.fxxfx221(1ln)2ln()20,xxfxxx在1x时。()()(1)0,()()(1)0fxfxffxfxf单调递增，单调递增，，证毕。24、22[()]()()abababfabxdxabxufudabu令222()()()abbbababbfudufudufxdx222[()()]()()abababaaafxfabxdxfxdxfabxdx22()()()abbbabaafxdxfxdxfxdx