第三讲----常用的数学思维方法

第三讲常用方法一分类方法二数形结合方法三特殊化方法数学思维方法主讲：孙凤钧2012.8第一节分类方法一、分类方法1、分类及其要素分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，分类也叫划分。数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类；从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。分类具有三要素:（1）母项，即被划分的对象；（2）子项，即划分后所得的类概念；（3）根据，即划分的标准。2、分类标准分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。例如，将平行四边形分成矩形、菱形、正方形是不恰当的。因为在矩形和菱形中都包含正方形，而且还存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四边形。又如，将自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“l”这个既非质数又非合数的自然数。对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。例如,三角形的分类可按角、边分类。有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚，需要进一步对其中一类或几类继续分类，既进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。例如，对复数的分类等。3、现象分类与本质分类数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类。对数学对象的本质分类有个逐步深化的过程。只是到了20世纪30年代前后，法国的布尔巴基学派深人研究了整个数学的全貌才提出了新的分类方法。他们从全部数学中提炼出三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构，把所有的数学按照这三种结构的不同组合加以分类。二、分类的原则任何分类，都必须遵循下列四个原则。1、不重复不重复，即要求分类应是纯粹的。2、无遗漏无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。3、标准同一是在一次分类中只能按同一标准进行，两者不可混淆。4、按层次逐步划分分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。否则就会出现越级划分的错误。三、分类方法的应用1、分类可使知识条理化、系统化通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好地掌握知识和形成良好的知识结构，并为进行分门别类的深人研究创造条件。2、分类讨论所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。数学教学中引起“分类讨论”的原因大致有如下几个方面。(1)由概念的定义引起的讨论数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等。当题目中涉及到这些概念时就需要进行分类讨论。123.aa例化简122325(23).1(3)aaaaaa（）分析：（2）由运算性质、运算法则引起的讨论因为数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，如不等式的运算性质，就是按不等号两边同乘（除）以正、负数的不同而决定不等号方向是否改变。又如，在除法运算中必须考虑零不能作除数等。因此，解答这类问题时需要进行分类讨论。221.yaxa例求的定义域:21021,axaaxa分析由得于是210,;aaxa当时210;aaxa当时,0.axR当时,（3）由图形位置的不确定性引起的讨论有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达题意，必须仔细、全面地考虑各种可能的不同位置关系，然后分类讨论，逐一加以解决。3nABna,b,(ab),ABO例在平面内，已知一直线外的两点、到直线距离分别为试求线段的中点到直线的距离？分析必须考虑到在直线n外的两点A，B与直线n的位置关系是不确定的，有两点在直线n的同侧与异侧两种情况.（4）由问题中含有字母参数引起的讨论许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值的不同，会使问题出现不同的结果。遇到这类问题，需要对字母参数的取值情况进行讨论。4(,)axbabR例求不等式的解。:0:1)0,;baaxa分析当时当时2)0,;baxa当时0:1)0,ab当时当时无解；2)0,.bxR当时（5）由于问题提供的情景比较复杂需要分类讨论554例从双不同尺码的鞋子中任取只，其中至少有两只配成一双，有多少种不同的取法？解法一由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1双”，实际上包括两种情况：一类是，4只中只有2只配成一双。另一类是，4只中恰好配成两双。解法二如果没有限制条件，从5双中任取4只，共有120种取法。所有这些取法可以分为两类：一类是，4只中没有2只能配成一双的取法；另一类是，4只中至少有2只配成一双的取法，这正是所要求的取法。第二节数形结合方法一、数形结合方法1、数和形的内在联系数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的。数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。2、数形结合方法所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。人们总是充分运用数形结合、数形转化的方法解决各种数学问题。在高考题中，充分利用选择题和填空题的题型特点，突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识。解答题中的考查以由“形”到“数”的转化为主。二、数形结合方法的应用1、由数想形根据数学问题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。借助几何直观解题还可以避免一些复杂的计算和字母讨论。2222221,,,,;.xyzrxyzzxrxrzxy例已知都是正数，并且求证：22250,54axaxxax例当为何值时，不等式组有唯一解。分析：根据二次三项式的几何意义，已知不等式组意味着抛物线上的点介于直线y＝0、与y二4之间。提示：构造几何图形。2、见形思数某些有关几何图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算、三角运算或向量运算，常可化难为易，获得简单易行的解题方案。3ABCDEF例圆的三条弦，，分别相交于点P，Q，R，AP=EQ=DR，CP=FR=BQ，求证：PQR是正三角形。ACFDBEQPR提示：利用相交弦定理。4例在四面体ABCD中，已知ABCD，ADBC；求证：ACBD。BADC分析1：利用向量法证明。分析2：可用三垂线定理。5P2例设为抛物线y=x上任意一点，以OP为边作正方形OPQR，求点P的轨迹方程。yxRQOP分析：这是解析几何中的轨迹问题，注意到正方形具有等边、等角的特点，利用复数可求解。复数具有代数式、三角式、向量式、指数式等多种表示形式，沟通了数与形之间的联系，这就决定了复数应用的广泛性和灵活性。用复数解决几何问题的基本思路是，根据问题的特点选取相应的复数表示形式，将题设条件转化为相应的复数关系式，即几何问题转化为复数问题，从而借助复数的计算与推理，使得问题得以解决。3、坐标法坐标法解决几何问题的基本思路是，首先根据几何问题的特点建立适当的坐标系，然后将几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，获得有关的代数结论，最后再通过坐标系将代数结论转化为几何结论，从而求得原几何问题的答案。2263412;0,0;,12237xyxyMxyxyxy例已知且求使（）取得最大值和最小值的点。3412,,33(04),4xyPxyxyxMxy解法一：在上取点（）由代入（）可得。61613412MxyCxy22解法二：配方（）+(),即求点（，）到的距离的最值。三、数形结合的局限性“数形结合”作为一个重要的数学思想方法，以其直观、形象、简洁等特点，深受人们青睐。我们在充分肯定其优越性的同时，也应看到它所具有的局限性。只有对“数形结合”拥有全面、辩证的认识，才能扬其所长、避其所短，更好地用好数形结合方法。1、由不精确图形诱导出错误直观8sintan224321yxyxABCD例函数与图象在（，）上的交点有（）个个个个错解在同一坐标系中作出两个函数的图象。发现它们有三个交点，故选（B），正确答案是D。oyxsinyxtanyx222、由不等价转换引出错误222294414xmyxym例当正数为何值时，抛物线与椭圆有个不同的交点？4,04.xm错误分析：由两条曲线有四个交点，作图，由于抛物线与轴交于（），易得y-4o-4x4222()4160,()011xyfymyymfy正确分析：消去，得关于的方程：而方程的两根在（，）内的充要条件是：8215.m解得：22(1)0(1)02,112()0ffmfm3、数形互换循环论证1212121210(),(0,);,(0,),22()().().22fxtgxxxxfxfxxxxxf例已知函数若且求证：错误分析：利用凹函数的直观图形来证明不等式，而此不等式正是凹函数的定义，因此构成了循环论证，所以不能以正切函数的图像特征作为论证的依据。110Sinxx。求解方程实根个数。lg21100.100xSinxx分析：原方程等价于，则有利用周期性作图，得交点有31个。练习题：222.2522fxxxxx求函数（）的值域。221411fxxx分析：利用（）（）（）联想到两点距离，可用几何法或复数法。22293.(,)()(2)fmnmnmn求的最小值。BAyxO1分析：用代数法求此二元函数的最小值不易达到目的。可将其表达式与“形”结合起来构造几何模型求解。观察表达式的形式，发现与两点间的距离公式相似。可解。sin34cos4xyx。求函数的值域。3sin14cosxyx（）分析：利用函数的（）特点，联想到两点连线的斜率问题求解。22cossin4343sin()1yxxyyxy分析：也可利用转化为问题求解。5。已知正数a,b,c,A,B,C满足条件:a+A=b+B=c+C=k.求证：aB+bC+cAk的平方.BCaAcb分析：利用三个三角形面积小于正三角形的面积。22(1)1,,0______.xyxyxyxycc6.设实数、满足若对满足条件的、恒成立，的取值范围是分析1：转化为点到直线的距离。分析2：转化为三角问题，即1sincosc恒成立.7.已知锐角三角形ABC，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.BACA´B´C´OABC分析：构造锐角，令其外接圆的直径为1，则BC=sinA，CA=sinB,AB=sinC,AC=cosA,BC=cosC,AB=cosB.即证BC+CA+ABAC+BC+AB.显然。2228,,112babaabab。已知正数且求的最大值以及达到最大值时的、的值。243xxax9。关于x的方程有三个不同的实数根，则实数a的值是__________。21yx10。已知直线y=x+m与函数的图象有两个不同的交点，则m的取值范围是________。分析：转化为直线与半圆的位置关系问题。分析：转化为y=x+a与另一曲线关系位置问题。分析1：转化为椭圆的参数方程问题。分析