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.-.2006年数学二试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程为1.5y【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】4sin14sin1limlim2cos52cos55xxxxxxxxxx.故曲线的水平渐近线方程为15y.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？（2）设函数2301sind,0(),0xttxfxxax　　　　在0x处连续，则a13.【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数()fx在0x处连续，则0lim()(0)xfxfa，又因为22032000sindsin1lim()limlim33xxxxttxfxxx.所以13a.【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.（3）广义积分220d(1)xxx12.【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d1d(1+)111111limlimlim(1)2(1)21+21+22bbbbbxxxxxxb.【评注】本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限..-.（4）微分方程(1)yxyx的通解是e(0).xyCxx【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d11dyxyx，两边积分得1lnlnyxxC，整理得exyCx.（1eCC）【评注】本题属基本题型.（5）设函数()yyx由方程1eyyx确定，则0ddxyxe.【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x求导（注意y是x的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对x求导，得eeyyyxy.又由原方程知，0,1xy时.代入上式得00dedxxyyx.方法二：方程两边微分，得dededyyyxxy，代入0,1xy，得0dedxyx.方法三：令(,)1eyFxyyx，则0,10,10,10,1ee,1e1yyxyxyxyxyFFxxy，故0,100,1dedxyxxyFyxFxy.【评注】本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式（6）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B2.【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BAEE.-.于是有4BAE，而11211AE，所以2B.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0fxfx知，函数()fx单调增加，曲线()yfx凹向，作函数()yfx的图形如右图所示，显然当0x时，00d()d()0yyfxxfxx，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),yfxxfxfxxxx因为()0fx，所以()fx单调增加，即0()()ffx，又0x，则0()()d0yfxfxxy，即0dyy.（8）设()fx是奇函数，除0x外处处连续，0x是其第一类间断点，则0()dxftt是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在0x间断的奇函数（D）在0x间断的偶函数.[B]【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()fx去计算0()()dxFxftt，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0xxfxx.则当0x时，22200011()()dlimdlim22xxFxfttttxx，.-.而0(0)0lim()xFFx，所以()Fx为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.（9）设函数()gx可微，1()()e,(1)1,(1)2gxhxhg，则(1)g等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln21.（D）ln21.[C]【分析】题设条件1()()egxhx两边对x求导,再令1x即可.【详解】1()()egxhx两边对x求导,得1()()e()gxhxgx.上式中令1x，又(1)1,(1)2hg，可得1(1)1(1)1(1)e(1)2e(1)ln21gghgg，故选（C）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型.（10）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（A）23e.xyyyx（B）23e.xyyy（C）23e.xyyyx（D）23e.xyyy[D]【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20即.故对应的齐次微分方程为20yyy.又*exyx为原微分方程的一个特解，而1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()exfxC（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式...-.（11）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrr等于（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy.（B）221200d(,)dxxfxyy.(C)22120d(,)dyyyfxyx.(D)221200d(,)dyyfxyx.[Ｃ]【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则原式22120d(,)dyyyfxyx.故选（Ｃ）.【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.（12）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy在000(,,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy，并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,,)0(,,)0xyFxyFxy，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxy..-.消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxy,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为(,)0yxy），若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.故选（Ｄ）.【评注】本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.（13）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.[A]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,,,)sB，则12(,,,)sAAAAB.所以，若向量组12,,,s线性相关，则()rBs，从而()()rABrBs，向量组12,,,sAAA也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（Ａ）1CPAP.（Ｂ）1CPAP.（Ｃ）TCPAP.（Ｄ）TCPAP.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得.-.110110110110010,010010010001001001001BACBA　　　，而1110010001P，则有1CPAP.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,ABC的值，使得23e(1)1()xBxCxAxox，其中3()ox是当0x时比3x高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于x的多项式，要联想到ex的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得,,ABC的值.【详解】将ex的泰勒级数展开式233e1()26xxxxox代入题设等式得233231()[1]1()26xxxoxBxCxAxox整理得233111(1)()1()226BBxBCxCoxAxox比较两边同次幂系数得11021026BABCBC，解得132316ABC