数字电路逻辑设计_第二章

数字电子技术第二章逻辑函数及其简化第二章逻辑函数及其简化2.1逻辑代数2.2逻辑函数的简化2.1.1基本逻辑2.1.2基本逻辑运算2.1.3真值表与逻辑函数2.1.4逻辑代数的基本定律2.1.5三个规则2.1.6常用公式2.1.7逻辑函数的标准形式2.1逻辑代数2.1逻辑代数2.1.1基本逻辑１．与、或、非三种基本逻辑关系(1)与逻辑关系S1S2与逻辑举例灯电源与逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮与逻辑关系：只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。(2)或逻辑关系2.1逻辑代数或逻辑关系：只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。S1灯电源或逻辑举例S2或逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合亮合合断亮合亮(3)非逻辑关系2.1逻辑代数非逻辑关系：事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。灯非逻辑举例电源非逻辑举例状态表开关S灯断亮合灭２．基本逻辑关系在逻辑代数中的描述2.1逻辑代数(1)真值表描述法真值表：用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表。在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有0和1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。与逻辑真值表或逻辑真值表非逻辑真值表ABP001010110001ABP001010110111AP01102.1逻辑代数(2)数学表达式描述法与逻辑：P=A·Ｂ又称为与运算或逻辑乘。运算符。若不致混淆，可省略。或逻辑：P=A+Ｂ又称为或运算或逻辑加。非逻辑：P=A读作“A非”或“非A”。2.1逻辑代数(3)逻辑符号描述法(1)(2)(3)AB+PABP≥11APABPABPAP&ABPAP基本逻辑的逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号ABP现行国家标准过去适用的符号国外常用的符号逻辑门电路：能实现基本逻辑关系的基本单元电路。如与门、或门、非门（反相器）等。2.1逻辑代数2.1.2基本逻辑运算１．逻辑加（或运算）P=A+Ｂ运算规则：0+0=00+1=11+0=11+1=1一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A２．逻辑乘（与运算）P=A·Ｂ运算规则：0·0=00·1=01·0=01·1=1一般形式：A·1=AA·0=0A·A=A2.1逻辑代数３．逻辑非（非运算）P=A运算规则：0=11=0一般形式：A=AA+A=1A·A=0４．复合逻辑运算(1)与非逻辑P=A·B两输入变量与非逻辑真值表ABP001010111110(1)(2)(3)ABPAB&ABPP与非逻辑复合逻辑符号2.1逻辑代数(2)或非逻辑P=A+B两输入变量或非逻辑真值表ABP001010111000(1)(2)(3)复合逻辑符号+B≥1AABABPPP或非逻辑2.1逻辑代数(3)与或非逻辑P=A·B+C·D2-2输入变量与或非逻辑真值表ABP000000001110C0011D0101011110001110001101011000011111100011010111111111000000110101(1)(2)(3)复合逻辑符号&≥1PBADCPBADC+PBADC与或非逻辑(4)同或逻辑ABBABAP·2.1逻辑代数若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。运算规则：00=101=010=011=1·一般形式：A0=AA1=AAA=0AA=1·······同或逻辑真值表ABP001010111001(1)(2)(3)复合逻辑符号B=1APBAPABP同或逻辑·2.1逻辑代数(5)异或逻辑BABABAP若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。运算规则：00=001=110=111=0+一般形式：A0=AA1=AAA=1AA=0+++++++异或逻辑真值表ABP001010110110B=1APBAPABP异或逻辑(1)(2)(3)复合逻辑符号2.1逻辑代数2.1.3真值表与逻辑函数求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。abcdAB～楼道灯开关示意图第一步：消化逻辑命题并列写真值表。楼道灯开关状态表和真值表ABP001010111001开关A灯cdbdbcaa亮灭灭亮(a)(b)开关B2.1逻辑代数第二步：由真值表写逻辑函数表达式。方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值0），再将所有的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与－或表达式，或称为“积之和”式。)()(BABAP方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值1），再将所有的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或－与表达式，或称为“和之积”式。ABBAP2.1逻辑代数例1：列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。有A、B、C３个输入信号，当３个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。解：根据题意可得到如右所示的真值表：“积之和”式：ABCCABCBABCAP“和之积”式：))(())((CBACBACBACBAP例2-1真值表11111011110100011110001001000000PCBA2.1逻辑代数2.1.4逻辑代数的基本定律１．逻辑函数相等假设F和G都是变量A1、A2、···、An的逻辑函数，如果对应于A1、A2、···、An的任一组状态组合，F和G的值都相同，则F和G是相等的，记作F＝G。若F＝G，则它们具有相同的真值表；反之，若F和G的真值表相同，则F＝G。例2：设F(A,B,C)=A(B+C)，G(A,B,C)=AB+AC，请证明：F=G。解：列写函数F和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明F＝G。2.1逻辑代数例2真值表1111111011111010000100110000100010000000G=AB+ACF=A(B+C)CBA由真值表可见，对于任何一组变量的取值，F和G的值完全相同，所以F＝G。2.1逻辑代数２．逻辑代数的基本定律(1)关于变量和常量关系的公式+A1=AA0=AAA=1++A⊙0=AA⊙1=AA⊙A=1A·1=AA·0=0A·A=0A+0=AA+1=1A+A=1(2)交换律、结合律、分配律交换律：A+B=B+AA·B=B·AA⊙B=B⊙AAB=BA++A⊙B⊙C=(A⊙B)⊙C结合律：A+B+C=(A+B)+CA·B·C=(A·B)·CABC=(AB)C++++2.1逻辑代数分配律：A(B+C)=AB+ACA(BC)=ABAC++A+BC=(A+B)(A+C)A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)(3)特殊规律重叠律：A+A=AA·A=AA⊙A=1AA=0+反演律：A+B=A·BAB=A+BA⊙B=ABAB=A⊙B++2.1.5三个规则任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例3：已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。解：原式左边＝A[B+(C+D)]＝AB+A(C+D)＝AB+AC+AD原式右边＝AB+A(C+D)＝AB+AC+AD所以等式仍然成立。１．代入规则2.1逻辑代数２．反演规则反演规则：对任何一个逻辑表达式Y，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得Y的反函数Y例4：求函数的反函数：DBCAL)()(DBCAL解：例5：求函数的反函数：DCBALDCBAL解：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例4。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例5。３．对偶规则2.1逻辑代数设F是一个逻辑函数表达式，如果将F中所有的与运算和或运算互换；常量0和常量1互换，则可得到一个新函数式F＊。F＊称为F的对偶式。1*0*CABAFCABAFCBAFCBAF例如：　　推论：等式的对偶式也是等式，即：。　则如果**,,,,,,,GFCBAGCBAF2.1逻辑代数2.1.6常用公式（吸收律）.1ABAABABABA对偶式：.2AABAABAA对偶式：.3BABAABABABAAABAA1证明：ABBAA对偶式：2.1逻辑代数CAABBCCAAB.4CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB证明：CABACBCABA对偶式：CAABBCDECAAB推论：BACACAAB.5BAACCABA对偶式：2.1逻辑代数2.1.7逻辑函数的标准形式１．最小项表达式(1)最小项设有n个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的乘积项（与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的乘积项称为n变量逻辑函数的最小项。最小项可用符号mi表示，下标i的确定方法是：对于最小项中的各变量，用1代替其中的原变量，用0代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标i就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：30mBCAmCBA2.1逻辑代数3变量最小项AB00011000C0101100111110101对应最小项(mi)ABC=m0ABC=m1ABC=m2ABC=m3ABC=m4ABC=m5ABC=m6ABC=m7最小项的性质：①对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为1，其余均为0；②任意两个最小项mi和mj之积为0（i≠j）；③n个变量的所有最小项（2n个）之和为1。2.1逻辑代数(2)最小项表达式全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－或式，或标准积之和式。最小项表达式的书写形式：mCBAFmmmmCBAFCBABCACABABCF7,6,3,1,,,,1367或写成：可以简写成：对于逻辑函数：2.1逻辑代数(3)逻辑函数展开成最小项表达式方法：先变换成与－或表达式，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式。。展开成最小项表达式DCCDAABC将F:例6　　DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF　　　　　　解　DCBADCBADCBADCABCDBACDBADABCABCD04812371415,,,mmmmmmmmDCBAF或写成：２．最大项表达式2.1逻辑代数(1)最大项设有n个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的和项（或项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的和项称为n变量逻辑函数的最大项。最大项可用符号Mi表示，下标i的确定方法是：对于最大项中的各变量，用0代替其中的原变量，用1代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标i就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最大项：MCBAMCBA472.1逻辑代数3变量的最大项AB00011000A+B+C=M0C0101100111110101对应最大项(Mi)A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7最大项的性质：①对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为0，其余均为1；②任意两个最大项Mi和Mj之和为1（i≠j）；③n个变量的所有最大项（2n个）之积为0。2.1逻辑代数(2)最大项表达式全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式，或标准和之积式。最大项表达式的书写形式：××41