数字逻辑电路第二章t.

2.1逻辑代数中的几个概念2.2逻辑代数的基本运算2.3逻辑代数的基本定理及规则2.4逻辑函数的性质2.5逻辑函数的化简第二章逻辑代数基础第二章逻辑代数基础FundamentalsofBooleanAlgebra•布尔代数Booleanalgebra：用一种数学运算的代数系统描述人的逻辑思维规律和推理过程。例如：元素：0、1；逻辑变量：简单逻辑命题，成立变量取值为1，反之为0运算：与、或、非。对应“既A且B”、“A或者B”、“A的否定”3种逻辑推断形式。逻辑变量通过3种运算产生复杂逻辑函数，对应简单命题借助3种基本逻辑推断形式构成复杂命题的过程。布尔代数对上述3种运算封闭。这样就将复杂的逻辑推理过程抽象为逻辑代数的运算，使逻辑命题的判断乃至逻辑电路的设计等推理问题，可以用逻辑代数这个系统完整的数学工具来解决。•代数：是一个集合，在这个集合上定义了一种或几种运算，这个集合关于这些运算是封闭的。即，代数系统中任意两个元素运算的结果仍然是其中的元素。第二章逻辑代数基础FundamentalsofBooleanAlgebra•逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具•逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计在现代逻辑分析技术中，逻辑值对应于各种广泛的物理条件：电压的高或低、灯光的明或暗、电容器的充电或放电、熔丝的断开或接通，等等。下表给出了不同的计算机逻辑和存储技术中表示位值的物理状态。•逻辑代数Switchingalgebra：将布尔代数的一些基本前提和定理应用于继电器的分析与描述，称为二值布尔代数，或开关代数。继电器是当时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用0或1表示。不同的计算机逻辑和存储技术中表示位值的物理状态表示位值的状态技术01气动逻辑继电器逻辑CMOS逻辑TTL逻辑光纤动态存储非易失的可擦存储器双极只读存储器磁泡存储器磁带存储器聚合体存储器只读压缩盘可重写压缩盘低压流动电路断开0~1.5V0~0.8V暗电容放电电子捕获熔丝烧断无磁泡磁通朝“北”分子处于状态A无凹陷晶态染色高压流动电路闭合3.5~5.0V2.0~5.0V亮电容充电电子释放熔丝完好有磁泡磁通朝“南”分子处于状态B凹陷非晶态染色2.1逻辑代数中的几个概念2.2逻辑代数的基本运算2.3逻辑代数的基本定理及规则2.4逻辑函数的性质2.5逻辑函数的化简第二章逻辑代数基础2.1逻辑代数中的几个概念1.逻辑状态LogicState：当事物的某些特性表现为两种互不相容的状态，即①某一时刻必出现且仅出现一种状态②一种状态是另一种状态的反状态则用符号0、1分别表示这两种状态，称逻辑状态。即：0状态(0－state)和1状态(1－state)一般，0状态——逻辑条件的假或无效，1状态——逻辑条件的真或有效。(两种状态无大小之分)2.逻辑变量LogicValue：用于表示事物状态的逻辑状态随逻辑条件的变化而变化，取值“0”或“1”。4.逻辑电平LogicVoltage：•在二值逻辑电路(开关电路)中，将物理器件的物理量离散为两种电平：高电平（用H表示）、低电平（用L表示）•抽象化的高、低电平忽略其物理量值的实际含义，实际上它们是代表着一定范围的物理量。参见下页。•在高、低电平之间有一逻辑不确定区，称为“噪音区”。若电平稳定于噪音区称为逻辑模糊，这在逻辑电路中不允许。3.逻辑常量LogicConstant：逻辑状态保持不变，取值“0”或“1”。表2－1不同工艺器件定义的逻辑电平工艺逻辑电平（电源电压为5V）LHTTL0～0.40V3.0～5.0VCMOS0～0.80V2.0～5.0V图2-1脉冲的逻辑电平表示LHLH5.逻辑约定LogicAssumpsit：规定逻辑电平（表示物理器件的输入、输出物理量）与逻辑状态（表示物理器件的逻辑功能）之间的关系，即逻辑规定（约定）。这一规定过程称为逻辑化过程。确定了逻辑规定（约定）后，各种物理量都转化为逻辑状态含义，因而可用逻辑变量表示，进而就可用各种数学或逻辑方法对电子电路进行分析和表达。一旦完成了逻辑化工作，不再考虑逻辑电路输入输出端的实际电平值，而是假设电路直接按照逻辑信号的0和1进行操作。逻辑约定有两种：正逻辑规定（约定）和负逻辑规定（约定），如下：正逻辑规定（约定）负逻辑规定（约定）01LH逻辑状态逻辑电平(a)正逻辑规定（约定）注：本书均采用正逻辑约定。H电平L电平1状态0状态10LH逻辑状态逻辑电平(b)负逻辑规定（约定）H电平L电平0状态1状态•逻辑电路LogicCircuit：由实现逻辑变量之间逻辑关系的物理器件所构成的电路称为逻辑电路，即二值逻辑电路。6.逻辑代数LogicAlgebra：•用代数形式表现逻辑变量之间的因果关系。•用代数运算对这些逻辑变量进行逻辑推理。因此，逻辑代数是一个集合：逻辑变量集、常量0和1、“与”、“或”和“非”三种逻辑运算。运算顺序是：“非”最高，“与”次之，“或”最低。7.逻辑函数LogicFunction：输入逻辑变量A1，A2，…,An；输出逻辑变量F；记为：F=f(A1，A2，…,An)，关系如下图所示：F=f(A1,A2,…,An)输入变量（自变量）取值0、1；输出变量（逻辑函数值）取值0、1.实现f(A1，A2，…,An)的逻辑网络A1A2AnF8.逻辑函数的表示法Representation：主要有四种⑴真值表（穷举法）TruthTableABF000110110001真值表例表达式例：F=A·B⑵逻辑表达式AlgebraicFormsofSwitchingFunctions⑶卡诺图KarnaughMAP（文氏图VennDiagrams）⑷时间图（信号波形图）TimingVenn图全集为1又引入变量B，将已有区域再分别一分为二引入变量A，将区域一分为二2.1逻辑代数中的几个概念2.2逻辑代数的基本运算2.3逻辑代数的基本定理及规则2.4逻辑函数的性质2.5逻辑函数的化简第二章逻辑代数基础2.2二值逻辑•只有决定结果的两个条件A和B同时具备，即同时有效：A=1，B=1，则结果会发生，即结果有效：Y=1。•若两者中只有一个有效：A=1,B=0或A=0,B=1，则结果不会发生，即无效：Y=0。•若两者均无效：A=0,B=0，则结果不发生：Y=0。•决定结果的两个条件A和B只要有一个具备，结果即有效：•A=1,B=1则Y=1•A=1,B=0则Y=1•A=0,B=1则Y=1•A=0,B=0则Y=0决定Y的只有一个条件A•A=0则Y=1•A=1则Y=0YABYABYA2.2逻辑代数的基本运算“与”运算(逻辑乘)LogicMultiplication“或”运算(逻辑加)LogicAddition“非”运算(逻辑非)LogicNegation运算结果逻辑积LogicProduct逻辑和LogicSum求补Complement示意电路真值表FABFABFARABF000110110001ABF000110110111AF0110“与”运算(逻辑乘)LogicMultiplication“或”运算(逻辑加)LogicAddition“非”运算(逻辑非)LogicNegation代数式F=A×B=A·BF=A＋BF=A逻辑符号波形图文氏图(F为阴影)&DABCFDABCF≥1DABCFFDABC1AFAFABFABFAFA2.1逻辑代数中的几个概念2.2逻辑代数的基本运算2.3逻辑代数的基本定理及规则2.4逻辑函数的性质2.5逻辑函数的化简第二章逻辑代数基础2.3逻辑代数的基本定理及规则基本运算：1=00=11•1=10+0=00•1=1•0=01+0=0+1=10•0=01+1=1(≠10)2.3.1布尔代数的基本公理BasicPostulates公理是基本的假设，是客观存在，无需证明。可以用真值表验证等式成立，当然等式两边还具有相同的卡诺图，体现了表达式的多样性。运算的优先顺序：括号，非，与，或。0－1律0and1elementsfor＋and•operatorsA+0=AA•1=AA+1=1A•0=0Commutativityofthe＋and·operations交换律A＋B=B＋AA•B=B•AAssociativityofthe＋and·operations结合律A＋(B＋C)=(A＋B)＋CA•(B•C)=(A•B)•CDistributivityofthe＋and·operations分配律A＋B•C=(A＋B)•(A＋C)“或”对“与”的分配A•(B＋C)=A•B＋A•C“与”对“或”的分配ABC(A+B)•(A+C)B•CA+BCA+BA+C0000010100111001011101110001000100011111001111110101111100011111可以用同样的方法证明A•(B+C)=A•B+A•C成立。由此证明A+B•C=(A+B)(A+C)成立。例：证明分配律A＋B•C=(A＋B)•(A＋C)成立。用真值表证明，如下：互补律ComplementationA+A=1A•A=0•可以把互补律看作如下命题：若X＝A，Y＝A，则有X+Y=1X•Y=0•可以证明，其逆命题也成立：若X+Y=1X•Y=0，则有X＝A，Y＝A。重叠律IdempotencyA+A=AA•A=A对合律involutionA=A上述三条基本公理可以用Venn图验证。如下所示：全集=1引入变量A，将全集分为两个互补相容的部分：A区域和A区域AVenn图A2.3.2逻辑代数的基本定理FundamentalTheorems右边=A+1•B（0—1律）=A+（A+A)•B（互补律）=A+AB+AB（分配律）=A+AB（吸收律）例：证明A+A•B=A+B，可以用公理来证明。吸收律AbsorbtionA+A•B=A+BA•(A+B)=A•BA+AB=AA•(A+B)=A=左边证明成立A•B+A•B=A(A+B)(A+B)=AA+B=A•BA•B=A+B反演律DeMorgan’sTheorem(摩根定理)=A+1（互补律）=1（0—1律）证明A•B=A+B成立，可以用函数的互补性来证明设：X=ABY=A+B∵X+Y=AB+A+B=A+B+B（吸收律）又∵X•Y=AB（A+B）=AB•A+AB•B(分配律)=0•B+0•A(互补律)=0+0(0—1律)=0(基本运算)∴X与Y互补，X=Y，Y=X。证明摩根定理成立。A1+A2+…+An=A1•A2•…•AnA1•A2•…•An=A1+A2+…+An或运算结果的非，相当于各变量非的与运算。与运算结果的非，相当于各变量非的或运算。摩根定理证明了变量进行“与”和“或”运算时的互补效应。摩根定理的作用：进行逻辑函数化简和逻辑变换。N变量的摩根定理：（此定理证明见代入规则。）A1+A2+…+An=A1•A2•…•AnA1•A2•…•An=A1+A2+…+An摩根定理的应用：=AB+AC+BC（A+A)（互补律）包含律Consensus(也称多余项定理)=右边证明成立AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)例：证明AB+AC+BC=AB+AC左边=AB+AC+BC•1（0—1律）=AB+AC+ABC+ABC（分配律）=AB+ABC+AC+ACB（交换律）=AB+AC（吸收律）若对两个逻辑表达式，其逻辑变量的各种相同取值组合对应的表达式值都相同，则称这两个逻辑表达式相等。f(A,B,C)=g(A,B,C)2.3.3逻辑代数的基本规则BasicFormulas1.逻辑相等：ABCg(A,B,C)=(A+B)•(A+C)f(A,B,C)=A+B•C00000101001110010111011100011111000111112.代入规则：又∵逻辑函数h取值也是仅有0或1已知f(x1,x2,…,xi,…,xn)=g(x1,x2,…,xi,…,xn)有任意逻辑函数h，令：xi=h则f(x1,x2,…,h,…,xn)=g(x1,x2,…,h,…,xn)依然成立。证明：∵xi取值(只有)0或1，使等式成立∴代