数学-008

LTMI专用理科学案【数学】第页1LTMI_数列、不等式、归纳法_学案（课堂）主备人：__顾天任_编号：__008__【本课概论】1、数列是定义域为N*的函数值的集合。2、基本不等式：abba21、数学归纳法：若命题p在n=n0（一般取n0=1)时成立。且若假设n=k（kn0，k∈N*）时p成立，可求得n=k+1时p成立，即可证得p对于任意n≥n0，n∈Z成立。【应用】1、数列：描述按照取值个数变化的函数或现实情况。2、基本不等式：求函数最值、值域等3、归纳法：证明递推型定理。【知识点及习题剖析】数列1、数列的定义和表示方法数列表示为一列数naaa,,,21的集合，其中na为定义在n∈N*上的函数，记作{na}数列的表示方法：①列举法，如1,2,3,4,……②通项式，指数列函数关于n的直接解析式，如222nnan③递推式，指数列关于前若干项的函数，其中数列某几项的值已知。如na=21-nnaa，其中121aa注：通项式、递推式转列举法很容易，列举法转通项式和递推式有无穷种方法（不定）通项式转递推式、递推式转通项式较难。数列不一定有通项式！例1：将通项式22nan转化为列举式和递推式。解：列举式将1,2,3,4代入即可：3,6,11,18，……递推式:3，其中12122)1(2a1122anannnnn剖析：通项式转递推式即想办法在n的解析式中配出n-1的解析式。例2：将递推式1，1211aaann转为通项式。解：12，21，得21又)1(2221，则121111nnnnnnnnnaaaaaaaa剖析：递推式转通项式有多种方法，较为繁琐，有时甚至根本不可行！一种常用的方法是下面将介绍的数学归纳法。LTMI专用理科学案【数学】第页22、数列的基本知识。①数列分为有穷数列和无穷数列。即含有有限项的数列和无穷项的数列。②每一项大于前一项的数列称为递增数列，每一项小于前一项的数列称为递减数列。各项相等的数列称为常数列。③无穷数列的敛散性。对于无穷数列{an}，如果nnalim存在且等于k，则称数列{an}收敛于k，否则称数列发散。例如：数列0.9，0.99，0.999……收敛于1，而数列1,2,3,4，……发散④无穷数列的有界性。对于无穷数列{an}，如果对于任意n有kan，则称数列{an}有界，否则称数列无界。例如：数列1,0,1,0,……有界，而数列0,ln(1),ln(2),ln(3),……无界⑤关于数列的敛散性和有界性，我们有：收敛必有界，无界必发散。（顺序不能倒！）例：写出一个始终＜5的无穷递增数列。解：一个可行解为4.9，4.99，4.999，4.9999……剖析：上述数列收敛于5，因此必定小于5且单调递增。另一解为,41211,211,1此数列收敛于2.实际上，我们有：递增（减）且有界的数列必收敛。3、等差数列和等比数列。①等差数列及其性质。定义等差数列为关于n∈N*的线性函数，即0adnan，其中d称为公差。由定义可得，dadnandaann])1[()(001即等差数列两相邻项之差为一常数。等差数列的另一种常用通项式为1)1(adnan，其中a1称为首项。例：如果按顺序的三个数x,A,y组成等差数列，求证：2yxA解：依等差数列定义，有2即得2])1[(2)2(000yxAAadnadnandyx剖析：此项定理称为等差数列的判别式。A称为等差中项。若某一数列任意三个数x,A,y都满足2yxA，则该数列为等差数列。若一数列为等差数列，则其中任意三邻项x,A,y都满足2yxA。LTMI专用理科学案【数学】第页3②等差数列的前缀和。对于某一数列{an}，我们定义nnnSaaaa21n1为数列{an}的前缀和。当{an}为等差数列时，我们有：2)(2)1(解得)()1(22两式相加得)（])1([)()()2()(1010000000nnnnnnaandnnnaSaandnnnaSdadnandaSndadadaS即等差数列的前缀和等于首末项之和与项数乘积的一半。例：已知nnSn3022，求证{an}是等差数列并求Sn最小时n的值。解：324)]1(30)1(2[)302(221nnnnnaSSnnn关于n成线性关系，所以{an}是等差数列；考虑到公差d=40，因此使Sn最小的n必定为使an0的最后一个n（后面an都为正数了，只会增加Sn），即4n-320，解得n8，即Sn最小时n=7；剖析：数列定义域为N*，不能像一般函数一样考虑最值等问题，需使用数列的特殊方法。已知前缀和求通项式通常使用作差法。③等比数列及其性质定义等比数列为关于n的指数函数nnqaa0，其中q称为公比。由定义得，qqaqaaannnn1001为一常数，即等比数列相邻项之比为常数。类似等差数列可证得，如果三个数x,G,y组成等比数列，则xyG2，G称为x,y的等比中项。注意：等比中项有正负2个！xyG即④等比数列的前缀和。1112012121时，有1；当1)1(时，有1当)1()1(两式相减，得)(则)1(记naSnqqaSqqaSqqqqaqSqqaaaaSnnnnnnnnnn此即等比数列的前缀和公式。LTMI专用理科学案【数学】第页4由此可见，当|q|1时，等比数列前缀和Sn收敛且收敛于qqan1)1(1当|q|≥1时，等比数列发散。例：求数列9,99,999,9999……的前缀和。解：nnSnnnn)110(910101)101(101101-101-101-1032剖析：遇到不为等差（等比）数列求前缀和时，想办法将其化为等差（等比）数列再求前缀和即可。4、数列补充①Fibonacci数列：定义为递推式21-nnnfff，边界121ff。写成列举法即为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，……Fibonacci数列有很多神奇性质，如215lim1nnnff，在优选法等学科有广泛的应用。关于Fibonacci数列的通项，有兴趣的同学可以自己查找资料研究。②级数：当n→+∞时，数列的前缀和Sn的极限又称为级数。某些级数收敛于某一个值（如41211），而有些级数发散（如31211）例：证明调和级数31211发散。解：（反证）设调和级数收敛于s，则有sSsSnnnn2lim且lim，即S2n-Sn=0而21111121112nnnnnnnnnnSSnn两式矛盾，故调和级数发散。数学归纳法（此处仅介绍第一数学归纳法）1、原理：若命题p在n=n0（一般取n0=1)时成立。且若假设n=k（kn0，k∈N*）时p成立，可求得n=k+1时p成立，即可证得p对于任意n≥n0，n∈Z成立。2、严谨证明和不严谨证明。严谨证明：根据第一数学归纳法原理，先证得n=1时p成立，再由n=k时p成立推导出n=k+1时p成立，即可完全证明命题p对于n∈N*成立。不严谨证明：根据已知的几组数据提出关于命题p的猜想，并用有限多组数据验证其正确性；如结果正确，便认为该命题是正确的（有局限性，一般选择填空用）3、应用：证明数列的通项公式正确或等式成立。证明某一命题对于某个定义域（一般是N*）正确。LTMI专用理科学案【数学】第页5数学归纳法例：例1：证明1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2证：①当n=1时，1=1，结论成立。②设n=k时结论成立，则n=k+1时原式=1+2+3+…+k+(k+1)+k+…+3+2+1=k2+2k+1=(k+1)2，结论成立。综合①②知原式对于任意n∈N*成立。剖析：关键一步为将k+1中的式子提出k的式子（将1+2+3+…+k+…+3+2+1提出)，然后用假设的结论取代（将提出的式子改为k2），然后证明k+1成立（配出原式=(k+1)2）数学归纳法是代数证明的两把利器之一（另一把是导数），一定要掌握。例2：数列{an}中，已知a1＝2，131nnnaaa(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．解：计算得a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，猜测an＝26n－5.答案：an＝26n－5剖析：碰到困难问题时，不妨猜测一下，试几组数据，若均成立便有把握认为猜测正确。（统计学表明，若数据有5组正确，你有98.4%的把握认为你的猜想正确）不等式初步1、证明：abba2，其中2ba称为a、b的算术平均数，ab称为其几何平均数。解：abbabaabba2即得0)(2由2。该定理称为均值定理（或均值不等式、基本不等式）。文字表述：两个整数的几何平均数不大于其算术平均数。2、由基本不等式推论得：①若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当1或1xx时取“=”）②若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）③若Rba,，则2)2(222babaab（当且仅当ba时取“=”）LTMI专用理科学案【数学】第页63、基本不等式的应用。根据均值定理abba2，我们有abba2，即得①两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；②两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。以上结论常用于求函数最值。例：见【利用基本不等式求最值的技巧】4、一元二次不等式画图即可。用熟练了画图都不用。【习题】1.公比为2的等比数列na的各项都是正数，且3a11a=16，则5a=（）A.1B.2C.4D.82.已知数列{}na的前n项和为nS，11a，12nnSa，,则nS（）A.12nB.1)23(nC.1)32(nD.121n3.已知数列121,,,4aa成等差数列,1231,,,4bbb成等比数列，则212aab的值为（）A.12B.12C.11-22或D.144．已知数列1nnapa为等比数列,且23nnna,则p的值为（）A.2B.3C.2或3D.2或3的倍数5.已知等比数列na满足0,1,2nan,且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n6．(2010·山东潍坊)已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2LTMI专用理科学案【数学】第页77.(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得nmaa＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是()A．1B．2C．3D．49．(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若AB→＝λAE→(λ0)，AC→＝μAF→(μ0)，则1λ＋4μ的最小值是()A．9B.72C．5D.9210．若a0，b0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．5填空1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2、用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是_