数学一考研辅导(一)(网络版)091011

1数学一考研辅导《高等数学》部分2014.9.20始（分四次复习）第一部分内容要点第一章函数、极限与连续一、函数1、函数的定义)()(DfyDxxfy其中D—函数的定义域，即使函数y有确定唯一有限数值的x的变化区域)(Df—函数的值域，即Dx时，y值变化的区域f—函数y与自变量x之间确定的对应法则或函数关系三者可以统一的表示成：}),({)(DxxfyyDf（用映射的写法是：fD表示映射f的定义域）2、函数的表示（1）公式法；（2）图像法；（3）表格法3、函数的形式（1）显式函数)(xfy；（2）隐式函数0),(yxF；（3）参数式函数)(),(tyytxx4、函数的特性（1）有界性若Mxf)(，或Mxfm)(，则函数具有界性（2）单调性xD，若)(,xfx，则函数)(xf为单调增函数；若)(,xfx，则函数)(xf为单调减函数。注：单调性与区域有关例：2yx，(,0),xy单调减；(0,),xy单调增；2(,),xy无单调性（3）奇偶性xD，若)()(xfxf—偶函数；若)()(xfxf—奇函数注：分段函数奇偶性的判定要特别谨慎例：分段函数1,0()1,0xxexfxex1,01,0()()1,01,0xxxxexexfxfxexex为奇函数（4）周期性若)()(xfTxf，则函数)(xf具周期性注：a)若)(xf为周期函数，则()(),fxnTfxnZ；b)若,sinxy则周期2T2sin(),yaxbTac)奇函数对坐标原点O对称；偶函数对y轴对称。5、常用函数的类型（1）基本初等函数1）常值函数Cy（常数）2）幂函数Rxy,3）指数函数)1,0(aaayx，特殊地xey4）对数函数log(0,1)ayxaa，特殊地xyln5）三角函数,tan,cos,sinxyxyxyxyxyxycsc,sec,cot6）反三角函数,arccos,arcsinxyxyxarcyxycot,arctan（2）反函数3直接函数)(,),(DfyDxxfy反函数：1）)()(1yfyx2）1()()yxfx注：)(yx与)(xfy为同一条曲线；)(xy与)(xfy为两条曲线，且对直线xy对称（3）复合函数若uDuufy),(；(),()xxuxxDuD，)a当uxDD)(时，复合函数)]([xf存在，且xDx；)b当()xuDD时，复合函数)]([xf也存在，但'xxxDD)c当()xuDD时，复合函数)]([xf不存在注：在解实际问题时，只需将对应量代入后再观察复合函数是否存在，如果存在，其定义域不难求出。（4）初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合而成的函数称为初等函数，在其定义域内，初等函数连续且可导。（5）分段函数在自变量x的不同区域内函数有不同的形式。分段函数非初等函数。（6）双曲函数（初等函数）1）双曲正弦函数xsinh与双曲余弦函数xcosh2sinhxxeex，2coshxxeex2）双曲正切函数xtanh与双曲余切函数xcothxxxxeeeextanh，xxxxeeeexcoth（7）反双曲函数xarxarxarxarcoth,tanh,cosh,sinh且有)11ln(21),1ln(),1ln(22xxarthxxxarchxxxarshx二、极限1、数列的极限（1）数列—一串无限有序数的排列4}{,......,......,,21nnaaaa，其中na为通项（2）数列的极限若aaLimnn（确定、有限），则数列}{na有极限a，或者说数列收敛于a；反之数列发散。注：数列极限的严格定义：若NnN,,0时所有的na满足aan，则数列有极限，aaLimnn（3）数列极限的性质1）唯一性若aaLimnn，则极限a唯一；2）有界性若aaLimnn，则}{na有界；3）保序性若bbLimaaLimnnnn，则当Nn时，nnba；4）保号性若0aaLimnn或0,则当Nn时，0na或0（4）数列极限的运算法则若aaLimnn，bbLimnn，则1）babaLimnnn)(；2）CaCaLimabbaLimnnnnn)(；kknnaaLim；3）)0(,bbabaLimnnn。2、函数的极限（1）类型1）AxfLimx)(（确定、有限）AxfLimx)(（确定、有限）2）AxfLimxx)(0（确定、有限）（2）性质1）唯一性；2）局部有界性；3)保序性；4）保号性。5（3）运算法则若BxgLimAxfLimxxxx)(,)(00，则1）BAxgxfLimxx)]()([0；2）ABxgxfLimxx)]()([0；3）)0(,)()(0BBAxgxfLimxx（4）常见函数的极限（需熟记！）1）1sin0xxLimx，1tan0xxLimx；2）exLimxx)11(；3）0sinxxLimx。（5）无穷小量与无穷大量1）定义若0)(0xfLimxx，则称)(xf为0xx时的无穷小量，0)(xfLimx，则称)(xf为x时的无穷小量；若)(0xfLimxx，则称)(xf为0xx时的无穷大量，)(xfLimx，则称)(xf为x时的无穷大量；2）性质)(a无穷小量的倒数为无穷大量；)(b有限个无穷小量之和仍为无穷小量；)(c有限个无穷小量之积仍为无穷小量；)(d有界量与无穷小量之积仍为无穷小量；)(e常数与无穷小量之积仍为无穷小量；)(f若AxfLimx)(，则0xx时，)()(xAxf，其中)(x为无穷小量。3）无穷小量的阶若)(),(xx均为0xx时的无穷小量，则6)(a当0)()(0xxLimxx时，)(x相对于)(x为高阶无穷小量；)(b当)()(0xxLimxx时，)(x相对于)(x为低阶无穷小量；)(c当)1,0()()(0CxxLimxx时，)(x与)(x为同阶无穷小量；)(d当1)()(0xxLimxx时，)(x与)(x为等价无穷小量；)(e当)0()(0CxxLimnx时，)(x为n阶无穷小量。4）常见的等价无穷小量当0x时，)(axsin∽x;)(bxtan∽x;)(cxarcsin∽x;)(dxarctan∽x;)(e1xe∽x;)(fxcos1∽22x;)(g)1ln(x∽x.注:在求极限的乘除运算中可用等价无穷小量来替代。三、连续1、定义若)()(00xfxfLimxx，则函数)(xf在点0x处连续。即函数)(xf在点0x处连续必须同时满足三个条件：（1）AxfLimxx)(0存在；（2）)()(00xfxfxx有定义；（3）)(0xfA若函数)(xf在Dx内处处连续，则称)(xf为Dx内的连续函数。2、性质1）若)(),(xgxf均在0x处连续，则)0)(()()(),()(),()(xgxgxfxgxfxgxf也在0x处连续。2）若)(xu在0x处连续，)(ufy在)(00xu处连续，则7复合函数)]([xf在0x处也连续，即)]([)]([00xfxfxx；3）若0)(0uxLimxx存在，而)(ufy在0u处连续，则)]([)]([00xLimfxfLimxxxx4）若)(xfy在其定义域xI上单调连续，则其反函数)(1yfx在相应的yI上也单调连续；5）若)(xf在闭区间],[ba上连续，则有界性定理、最值定理、介值定理与零点定理均成立。3、间断点（1）第一类间断点1）可去间断点若AxfLimxx)(0存在，但)(0xfA；2）跳跃间断点若)0()(00xfxfLimxx与)0()(00xfxfLimxx均存在，但不相等（2）第二类间断点1）无穷间断点若)(0xfLimxx或者)(0xfLimxx；2）振荡间断点若0xx时，)(xf振荡不定。第二章一元函数微分学一、导数1、定义一阶导数的定义xxfxxfLimxfx)()()('000000)()(0xxxfxfLimxx)('0xf存在的充分必要条件是：)('0xf与)('0xf存在且相等。2、导数的几何意义曲线)(xfy上切点),(00yx处切线的斜率等于)('0xf，因此，过切点),(00yx的曲线的切线方程为))((')(000xxxfxyy；8相应地过切点),(00yx的曲线的法线方程为)0)('(),()('1)(0000xfxxxfxyy。3、基本求导公式（1）0)'(C；（2）)(,)'(1Raaxxaa；（3）aaaxxln)'(，xxee)'(；（4）xxaxxa1)'(ln,ln1)'(log；（5）(sin)'cosxx；（6）xxsin)'(cos；（7）xx2sec)'(tan；（8）xx2csc)'(cot；（9）xxxtansec)'(sec；（10）xxxcotcsc)'(csc；（11）211)'(arcsinxx；（12）211)'(arccosxx；（13）211)'(arctanxx；（14）211)'cot(xxarc，（15）chxshx)'(；（16）shxchx)'(；（17）xchthx21)'(；（18）211)'(xarshx；（19）11)'(2xarchx；（20）211)'(xarcthx4、求导法则若)(),(xvxu在x处可导，则（1）)(')(')]'()([xvxuxvxu；（2）)(')()()(')]'()([xvxuxvxuxvxu；（3）)0)((,)()(')()()(']')()([2xvxvxvxuxvxuxvxu。5、隐函数的求导法则0),(yxF两边对x求导),('yxgy；或者yxFFdxdy，其中,xyFFFFxy。6、参数式函数的求导法则9)()(tyytxx22()()1();()()dyydydgtdgtdtgtgtdxxdxdxdtdxx其中,dydxyxdtdt7、反函数的求导法则若直接函数)(yx可导，且0)('y，则其反函数必也可导，且)('1)('yxf，即1dydxdxdy8、复合函数的求导法则若)(),(ufyxu，则复合函数)]([xfy的导数为dxdududydxdy——链式求导法则链式求导法则可以推广到多个中间函数的情况：dydydudvdwdxdudvdwdx9、导数、连续、极限与有界之间的关系对一元函数而言，)('0xf存在必)(xf在0x连续，)(xf在0x连续必AxfLimxx)(0存在，AxfLimxx)(0存在，必)(xf有界；但是，反之不然。二、微分1、定义若)(0xxAy，其中)(0x为高阶无穷小量，则其线性主部定义为在0x附近的函数的微分000'()'()xxdyAxfxxfxdx2、微分与导数的关系dxxfdxdxdydy)('3、微分法则若)(),(xvxu在x处可微，则（1）)()()]()([xdvxduxvxud；（2）)()()()()]()([xdvxuxduxvxvxud；（3）)0)((,)()()()()(])()([2xvxvxdvxuxduxv