数学实验姓名:学号:班级:数学与应用数学2班实验报告三一、实验名称:最佳分数近似值二.实验目的用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。“最佳”就是既要误差小,又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准,还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。三.实验内容实验一、分数对Pi的最佳逼近分数对无理数的最佳分数逼近设是给定的无理数,怎么样的分数QP能够称为的最佳分数近似值?既然“最佳”的标准是既要误差小,又要分母小,如果一个分数qp的分母去qQ并且误差QPqp,或者分母q=Q且误差QPqp。那么qp就是比QP更佳的分数近似值,QP就不能说是最佳。反过来,如果QP的误差比起分母不超过Q的其他分数近似值qp都小,也就是QPqp对所有Qp以及pP成立,就成QP给出了的最佳逼近。例如,对=3.14159265……,分母为1最接近的分数值为13,是最佳分数逼近(因为根本就没有比它分母更小的分数)分母为2最接近的分数值是26,它的分母比1大,但误差不比13小,是比13更差的分数近似值,不是最佳。事实上也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来,以误差qp与分母q的乘积q为标准来判断分数近似值qp得优劣,q越小,qp,越优。还可以进一步强化“分母小”这一要求,用2q作为衡量标准,2q的值越小越优。取n=10000.让分母中q依次取遍1到n的整数值,对每一个分母q,将q四舍五入到pq,让这n个分数按下面规则参加“擂台赛”,选出对最佳的逼近的分数。设一个“擂台”,首先让第一个分数13登上“擂台”作为第一个“擂主”11qp。让分母比去q1大的分数近似值pq依次向“擂主”11qp挑战,看他们的误差是否比11qp小,如果“挑战者”pq的误差不比“擂主”的小,即11qpqp,则挑战失败,下一个挑战上阵;如果挑战者的误差pq的误差比擂主小,则挑战成功,这个pq成为新的“擂主”22qp,以后的分数就向这个新的“擂主”挑战。这个过程继续下去,直到全部的分数都参加擂台赛,将历届的“擂主”纪录在一个“排行榜”(也就是一个数组中)显示出来,它们就是对作最佳逼近的分数。(1)11pqpq来逼近程序:运行结果:(2).用q来逼近程序:Print[g]运行结果:(3).用2q来逼近程序:运行结果:分析:通过实验结果,可以看出,722和113355都是的最佳逼近分数,而113355又较722更好的逼近。因此通过改进实验方法可以使结果更加精确。实验二、使用连分数的方法近似圆周率的值首先把实数转化为连分数。使用命令ractionContinuedF][a给出实数a的连分数形式。由于的连分数是不循环的,运行上述命令后给出出错信息取0100000000053141592653,做辗转相除法可得圆周率Pi的连分数表达式:311121111111292111151713使用aMathematic命令程序:ContinuedFraction[Pi,13]运行结果:{3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14}得出连分数的第13个渐进分数。842.2881115171300261.111517139974.01517139974.15171306251.071306251.7131415926.0/11314159265.3下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近似值。713,1133551151713程序:运行结果:分析:使用连分数设定一系列渐进分数来提高精确度,渐进分数的个数不同精确度也就不同。四.实验总结与结果分析通过本次实验,掌握了用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。进一步熟悉了对Mathematica软件的应用。五.心得体会