数学中考旋转问题

旋转问题（一）一、知识点：（1）旋转的性质：旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。（2）①∵∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠BOD②∵∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠BOD（3）△ABC绕点A旋转到△ADE，则有。二、练习1．如图，AOB△中，30B∠．将AOB△绕点O顺时针旋转52得到AOB△，边AB与边OB交于点C（A不在OB上），则ACO∠的度数为（）A．22B．52C．60D．822．如图：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是________.ABCP345ABCDE（第2题）（第3题）3．如图，五边形ABCDE中，ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。4．如图，已知60ABC，以线段AB为底边在线段AB的右侧作底角为的等腰△ABE，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），以AP为底边在线段AP的右侧作底角为的等腰△APQ，连接QE并延长交BC于点F.（1）如图1，当50时，∠EBF＝▲°,猜想∠QFC＝▲°；（2）当45时，求QFC的度数，并证明你的结论.（3）如图2，当为任意角（060）时，猜想QFC的度数是多少?（不需说明理由）解：利用三角相等可知△ABE∽△APQAABCOBODCBABAEDCABFPEQC图2ABCFEQP图1所以有AQ/AE=AP/AB所以AQ/AP=AE/AB（1）又∠BAE=∠PAQ∠BAE+∠PAE=∠PAQ+∠PAE即∠BAP=∠EAQ（2）在△ABP与△AEQ中应用两边夹一角定理[见（1）、（2）式子]，可知△ABP∽△AEQ因此有∠ABP=∠AEQ=60∠QFC=∠FBE+∠BEF∠FBE=60-∠A∠BEF=180-60-∠AEB=120-(180-2∠A)=2∠A-60∠QFC=∠FBE+∠BEF=60-∠A+2∠A-60=∠A因此∠QFC的度数应该与∠A相等5．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值．解：（1）①BG=DE，BG⊥DE．②BG=DE，BG⊥DE仍然成立．在图（2）中证明如下∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．（2）与动点问题那题相似参考动点即可（3）△BCG全与△DCE是旋转了90°的全等，所以线段BG线段DE长度相等且垂直。BE=5，DG=1，BE²+DG²=26旋转问题（二）1．如图：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。正方形ABCD面积为.ABCDP解：作ΔAED使∠DAE=∠BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1∴PE=√2同理，PF=3√2∵∠EDA=∠PBA，∠FDC=∠PBC又∵∠PBA+∠PBC=90°∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC=90°+90°=180°∴点E、D、F在一条直线上。∴EF=ED+DF=2+2=4，在ΔEPF中，EF=4，EP=√2，FP=3√2由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ正方形ABCD的面积=△EPF的面积+△EPA的面积+=△PFC的面积=2√2+5ABCDEFF123ABCP（第1题）（第2题）（第3题）2．如图正方形ABCD中,边长AB=3，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300,DAF=150。ΔAEF的面积为。⊿ABE≌⊿ADG（ASA）,∴AE＝AG.⊿AFE≌⊿AFG（SAS）（第4题）DG＝ADtan15º＝√3×[﹙1-cos30º﹚/sin30º]＝2√3-3.DF＝ADtan30º＝√3×1/√3＝1.FG＝FD+DG＝2√3-2S⊿AEF＝S⊿AGF＝﹙1/2﹚×AD×EG＝﹙1/2﹚×√3×﹙2√3-2﹚＝3-√33．如图，在ΔABC中，ACB=900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。BPC的度数为。解：因为△ABC中AC＝BC，∠ACB=Rt∠所以可将三角形APC绕C旋转90度，CA与CB重合，P移动到D，连接PD显然BD＝PA＝1，CD＝PC＝2，∠PCD＝90°，∠APC＝∠CDB所以PD＝2√2，∠PDC＝∠DPC＝45°因为PB＝3所以PD^2＋BD^2＝PB^2所以ΔPBD是直角三角形且∠PDB＝90°所以∠CDB＝90°＋45°＝135°所以∠APC＝∠CDB＝135°4．如图（7-1），正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为______________。连接PB，PC过点A作PB和PC的垂线，垂足为E，F，（一个垂足在延长线上）易证△ABE≌△ACF∴四边形ABPC的面积=四边形AEPF的面积∵AP=2∴DE=1，AE=√3∴四边形AEPF的面积=√3∴四边形ABPC的面积=√35．如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1，的位置，连接AE1、CF1．（1）求证：△AOE1≌△OCF1；（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由．6．已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OCAC，120C．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图(2)，现有60MCN，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将MCN绕着点C旋转（0旋转角60），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．【5答案】（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；（2）存在，∵OE⊥OF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与OF垂直，又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线，又点C为⊙O外一点，过点C与⊙O相切的直线只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2，点切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝1OF1=OC2，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴点E1的横坐标为2cos60°＝1，点E1的纵坐标为2sin60°＝3，∴E1的坐标为（1，3），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限，同理可求E2（1，－3），∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，此时点E的坐标分别为E1（1，3或者E2（1，－3）．【6】解：（1）过点C作CDOA于点D．（如图①）∵OCAC，120ACO，∴30AOCOAC．∵OCAC，CDOA，∴1ODDA．在RtODC中，123coscos303ODOCAOC．······························（1分）（ⅰ）当203t时，OQt,3APt,23OPOAAPt；过点Q作QEOA于点E．（如图①）在RtOEQ中，∵30AOC，∴122tQEOQ，∴21131(23)22242OPQtSOPEQttt．即23142Stt．··········································································（3分）（ⅱ）当22333t时，（如图②）OQt，32OPt．∵60BOA，30AOC，∴90POQ．∴2113(32)222OPQSOQOPtttt．即232Stt．故当203t时，23142Stt，当22333t时，232Stt．·········（5分）26题答图①DEABCOxyQP26题答图②PQyxOCBA（2）3(,1)3D或23(,0)3或2(,0)3或423(,)33．··································（9分）（3）BMN的周长不发生变化．延长BA至点F，使AFOM，连结CF．（如图③）∵90,MOCFACOCAC，∴MOC≌FAC．∴MCCF，MCOFCA．····················································（10分）∴FCNFCANCAMCONCA60OCAMCN．∴FCNMCN．又∵,MCCFCNCN．∴MCN≌FCN．∴MNNF．··············································（11分）∴BMMNBNBMNFBNAFBAOMBOBABO4．∴BMN的周长不变，其周长为4．··············································（12分）92．（辽宁省十二市、丹东市）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当N