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篮球中的数学思想——兼谈数据分析陈晨(外国语学院日语专业1511612)摘要：通过对篮球比赛的一系列讨论分析，使用简单易懂的数学建模、大数据分析等方法，简单介绍了篮球中的一些数学思想，最后引出“大数据时代下，对篮球的数据分析尤为重要”这一结论。关键词：投篮；数学建模；大数据分析；预球权分；新型数据提取技术1、问题的提出1.1、在篮球盛行的当今，许多人认为一支球队要想取得一场篮球比赛的胜利，要靠球员的自身能力与球队的整体配合。那么一场比赛的胜败与数学到底有没有关系呢？1.2、为了下面的讨论方便起见，先在这里简要地介绍一下篮球的基本常识：①篮球运动是以运球、投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性室内体育运动之一。②从边线的中点画一平行端线的横线称中线。中线应向两侧边线外各延长0.15米（15厘米）。③以中线的中点为圆心，以1.80米为半径（半径从圆周的外沿量起），画一个圆圈称中圈。④三分投篮区是由场上两条拱形限制出的地面区域。在此区域外投篮得三分。⑤罚球区是限制区加上以罚球线中点为圆心、以1.80米为半径向限制区外所画的半圆区域，它是执行罚球的区域。⑥从罚球线两端画两条线至距离端线中点各3米的地方（均从外沿量起）所构成的地面区域叫限制区。它的作用是：球在本队控制时，限制本队队员在对方限制区内停留的时间不得超过3秒钟。1.3、介绍完了篮球的一些基本常识，我们将开始对篮球与数学进行一系列探讨，运用数学的思想与方法“打”一场动脑子的篮球。2、投篮问题的数学建模关于定点投篮，我认为在排除了非自身因素的前提下，篮球出手速度、角度和高度是影响命中率的三大因素。作为一名篮球运动的爱好者，我对投篮运动的分析很感兴趣，在学习了一些数学知识后，我试图用数学建模的方法，分析定点投篮，如何控制好出手力度、高度和方向，才能使篮球的命中率达到最大化，从而使我们的训练和比赛变得科学化、严谨化，而不只是靠运气。2.1、模型假设①、不考虑篮球碰篮板；②、不考虑球出手后自身的旋转；③、不考虑空气阻力对篮球的影响；符号假定：d篮球直径D篮框直径L篮框距投球点的水平距离H篮框中心高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度(按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm)2.2、分析与模型的建立假设篮框和篮球的大小不予考虑，可以将其视为球心的斜抛运动。列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，并以球心P为坐标原点，得到球心的运动轨迹，于是出手角度与出手速度、出手高度以及篮框的入射角度与出手角度之间的关系可以表示出球心命中框心的条件，由此可对不同的出手高度、出手速度，计算入射角度和出手角度。vβPαHhL可将其视为球心的斜抛运动,以未出手时的球心p为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手角度和出手速度v投出，其运动方程如下：𝑥(𝑡)=vtcos𝛼(𝑡)=vts𝛼g为重力加速度，可得到球心运动轨迹为：=xta𝛼𝑥𝑣cos𝛼，以x=L，y=H-h代入上式，即可得到球心命中框心的条件：ta𝛼=𝑣𝐿[1±√1𝑣(𝐻ℎ+𝐿𝑣)]。由此式计算出的两个出手速度角度记作𝛼1、𝛼且设𝛼1𝛼，可以看出𝛼1是h和v的减函数，球入篮筐时的入射角度β可从下式得到：ta𝛽=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝐿，计算代入后可得：ta𝛽=ta𝛼(𝐻−ℎ)𝐿，于是对应于𝛼1𝛼，有𝛽1𝛽。由此可知，出手角度与入射角度成正相关，我们可以以此为基础研究投篮问题，下面我们对于上面推出的关系式作解释。投篮时，要首先确定自己投篮的弧度，我们如果加入风对篮球的影响因素，若投篮时逆风，投篮的弧度越大，球相对在空中的时间越长，此时风对球的影响作用也就越明显，因此这个时候就应该减小投篮时出手的角度。反之亦然。关系式是理想状况下得出的，因此，投篮时出手的角度由投篮者个人的喜好而定。得到的结论告诉我们，理想状况下，投篮角度越大，力度也要增大。如果运用好这一结论，无疑可以将投篮变得更加科学化、条理化，让投篮者更有信心，而不是光靠运气。这一理论，将对于篮球教学、训练大有益处。但是它也不是万能的，这个结论忽略了实际中的一些影响因素，所以会有偏差，它只能增大进球机率，保证投进是不现实的。3、赛场上的大数据分析3.1、一场跌宕起伏的比赛2013年2月13号，圣安东尼奥马刺队做客克利夫兰迎战骑士队，整场比赛都打得十分焦灼。直到第四节末，骑士的得分后卫迪昂-韦特斯命中了一记高难度跳投，使骑士在最后9.5秒取得2分领先。也同样留给了马刺9.5秒的时间，速贷中心那些骑士球迷的情绪甚至都开始失控。马刺队叫了暂停，并获得了一次前场球的机会，他们决定打一个他们最喜欢的战术。马特-邦纳快速把球发给了距篮框30尺远的托尼-帕克，待邓肯做了个结结实实的挡拆，迫使泰勒-泽勒换防帕克，帕克抓住这一时机迅速从左侧突破。比赛还剩下6.7秒，帕克控制了下平衡，准备来一个他命中率最高的上篮来扳平比分。霎时间，他看到了什么，然后改变了他的主意。科怀-伦纳德安静的待在弱侧底角，没有人注意到他。因为帕克突的十分坚决，侵略性十足，他的突破成功吸引了伦纳德的防守者——韦特斯，他一直被吸引到了禁区。而伦纳德就静静的杵在那块无人区，帕克很快也注意到了这点，于是帕克手腕一甩，送出了一记精准的助攻，那球沿着底线直直的飞向了伦纳德，韦特斯绝望的扑上去也只是徒劳。剩下的就是例行公事，那个时候，这个漂亮的助攻已经完成，伦纳德只需要在他最喜欢的位置投中最喜欢的那个底角三分。他投进了，而马刺也以一分的优势带走了胜利。3.2、这个完美的配合在数据统计上可简化为几个基本的数字：邓肯的挡拆无记录，托尼帕克凶悍的突破和果断的传球最终被记上一笔助攻，伦纳德增加1次出手，1次命中，添上3分。赛后，托尼帕克提到了那个与伦纳德做出绝杀骑士的配合：“我想我本可以命中那个上篮，但我看到了空位的科怀。我不只是要拿下一场胜利，我还要组织好我的队友们，让他们能整晚出色的发挥，所以在最后时刻我愿意做一个正确的决定。”3.3、“预球权分”的提出在2013年的早春，德阿莫尔和瑟沃尼计划创建一个新的项目来测量NBA里的性能值。他们的假设核心是：每次篮球球权的“状态（state）”都有一个值。这个值由一个即成篮球事件的概率决定，其结果为该次球权的总预期得分。NBA每次球权得分的平均值接近为1分，其预期得分的准确值又随着时刻的改变而波动，而这些波动的原因就是场上瞬息万变的各种突发事件。而且他们还坚信，SportVU数据所带来的启发，可以做到估计NBA整个赛季中每场比赛每个球员每一刻钟的性能值。要想准确估计性能值，就要做到准确记录，那么建立一个精准的采样模型至关重要，并且要求这个模型要充分考虑到这些重要的因素——每个球员的得分能力、球员的场上坐标、场上是哪个球员持球、该球员持球的状态以及该球员在场上的位置（1-5号位）。这样，对NBA的性能值进行量化分析就变成了一种全新的方式。或者说，假如你在某年的NBA赛季中的某场比赛的任意时刻暂停了任一场比赛。德阿莫尔和瑟沃尼的中心思想是：无论你在任意时刻暂停比赛，你都能够科学的估计该次球权的“预期球权得分（expectedpossessionvalue）”，或者简称“预球权分（EPV）”。打个有趣的比方，假设大鲨鱼奥尼尔持球距篮筐50多尺远，且比赛时间只剩下3秒多，并且有四个人对他贴身防守，那么我们大概也能猜到这球怕是进不了，那么这一时刻奥尼尔的预球权分就无限接近于0。相反，同样效力于洛杉矶湖人队的科比假设在篮下持球，且完全无人盯防，我们也能猜到这两分他是拿定了，那么这一时刻科比的预球权分就无限接近于2。场上的情况当然也不至于如此极端，但还是能通过预球权分机制来评估出来的。这仅仅只是一个新式的概念，而真正的“奇思妙想”就从这里开始。假如我们能对任意一场比赛的任意一个时刻的预球权分进行估计，那么我们对球员表现进行的量化将变得更加精细与准确。当然，我们还可以为这个“值”引入一些概念，比如持球突破、遭遇双人包夹、战术犯规以及无人防守的影响。对球员的动作更加精确地量化分析对比，并针对特定比赛特定球队特定球员特定时刻的挡拆战术，分析讨论并得出最佳的防挡挡拆策略。通过采样和分析比赛的球员动作以及战术打法，就可以得出最为有效的战术和细节，甚至，还能预估出该战术或动作的最佳执行者。但量化球员的总体进攻得分值仍然是预球权分在篮球中最为准确明晰的应用，通过考量球员持球时的表现、细微的基本动作，利用预球权分这一概念将数以万计的篮球基本动作转化为一些简单数字，再通过对比分析该球员和假想的替换球员（比如该赛季中等水平的球员）的真实值来判断该球员能在该场比赛多得多少分，方法是将该假想球员人工放入一个与该球员完全相同的篮球状况之中注2。这个值则称为“得分增加（pointsadded）”或者“预球权分增加（EPV-added）”。注2：伟大的基斯-乌尔内，前棒球统计界掌门人，他曾提出ValueOverReplacementPlayer(VORP)，即与替换球员得分的差值，这与之类似但又有所不同。3.4、用预球权分的视角来审视托尼帕克-伦纳德那记绝杀骑士的球这球的初始条件为：骑士已经领先马刺2分，此时比赛时间还剩9秒。托尼帕克接球后开启了他凶悍的突破，这一系列的动作使模型预计该次球权的期望得分为0.97分。紧接着，邓肯给托尼帕克的挡拆，让托尼帕克有充足的空间来突破泽勒，而实际上此时托尼帕克的预球权分正在不断地下降，因为此时托尼帕克正在中距离持球突破泽勒。随着托尼帕克突破到篮下区域，他的预球权分也增加至1.36分，事实上托尼帕克这次的突破已经使得本次预球权分增长了0.39分，然而这并不意味着马刺进攻的结束更不意味着马刺与骑士加时的开始。因为此时托尼帕克意外发现了外线底角的伦纳德，并送出一记令人意想不到的助攻，考虑到伦纳德的最佳空位位置以及他在外线底角出色的手感与命中率，托尼帕克本次助攻实际上使马刺队的预球权分达到了1.75的峰值。此后，由于韦特斯的扑防，预球权分再次回落，并降到了1.58，只可惜这时韦特斯的回防早已为时晚矣。平行世界里，如果没有传统的统计数据，只有预球权分，那么帕克会在在这次进攻中得到一个可观的数字荣誉。而通过传统的“得分，篮板和助攻”的数据统计，最终的赢家伦是纳德。各大网站的标题都是“科怀-伦纳德三分球绝杀骑士！”。4、结束语：现代篮球迫切需要一种新型数据提取技术我们对于预球权分项目的贡献还不得而知，毕竟它现在还处在初期构想阶段，更绝不可能现在就对篮球数据分析发起一场“革新”。也许它的作用并不在评估球员的真实价值，而在于为未来世界的篮球分析提供一种新思维想法、全新道路来分析球员表现。新的计算能力，又或是新的理论基础。近几年来，我们总是说要在“先进数据”的统计方法上创建一种新模式，可事实却是我们仅仅是稍加精进了一些算法罢了。无论我们是否愿意，这种情况都要有所改变。不要误会我，PER值以及每回合得分已经显著提升了篮球的分析能力，这说明随着时代的进步发展，数学在篮球运动上发挥着越来越不可替代的作用，并且这种作用越来越明显，这不仅推动了篮球向着更加科学化、理论化的方向发展，也更推动了数学思想的创新与数学技术的成熟。但是，未知的世界还很大，我们要做的还很多。