数学人看数学

数学人看数学：人类社会逐渐从自然届中抽象出数学的过程令人感动，本身认识到年月这些历法的知识就是一个奇迹，从埃及到巴比伦最后到希腊，毕达哥拉斯亚里士多德柏拉图阿基米德到欧几里得，都是奇迹，公理体系一旦建立，人类的意识水平都上升到一个高度了。很向往巴比伦和希腊的那种态度，崇尚科学，让文明绽放。无论是哪个人种，哪个文明，对科学都有类似的领悟能力，这和个体的领悟能力类似，非常的神奇。越抽象，越接近本质，应用越广泛。精确是不平凡的开始，牛顿利用数学这个工具来精确的描述物理世界的规律，取得了非凡的成就，类似的数学是万能的工具，在任何一个行业都是，缺少的是发现模式的心灵。最强的数学家,思考的是还是存在的哲学问题,采用数学作为解释世界的工具而已(无论是数字的产生欧式几何代数数形结合实分析复分析变分还是非欧几何黎曼几何等).这是高斯黎曼这类人的高度.人类历史上有几次系统的回顾，1900年的数学大会就是一个。文明的发展，来自个体的思想突破，比如对无穷的理解，高维空间，相对论，量子力学，弦论。每打开一扇门，就会收获许许多多的精神果实，比如对无穷的理解，比如伽利略的望远镜，比如Wolfram的元胞自动机。之前我对纯数学感到绝望，一方面是社会原因，另一方面是没有看到背后深藏的精神动机，纯数学只是哲学思考的副产物。康托的一生很惨淡，和许多其它穷困潦倒的数学家一样，思想超出这个时代，就要懂得等待和放弃，像高斯，自知之明的把非欧几何封藏起来。又想起柴同学的那句话，有些人，不值得付出生命来维护。庞加莱针对n体问题的探索，简介导致了混沌的发现，一想到混沌，就感到无奈。了解一门学科的未来，就要从这门学科的历史和现状入手。对待任何一个知识体系，都必须有这种意识。比如计算机科学，只有了解了动机，初生和逐步发展的过程，才能更好的理解现在的一切，才能更好的把握未来的发展动向，把有限的精力，投入到无尽的推动中去。数学的故事是一个生动的数学史教材，把许多书上看到的文字和图片变成了实在的影响，这种真实淡化了数学的神秘，更贴近现实的生活。历史不仅仅是一个童话故事，每一个人都身在其中。数学早已深入到生活之中，只是没有足够的修养和慧眼，无法看的到看的清而已。数学源自实际问题，得到更高级的抽象，用来作为解决更复杂实际问题的武器，拓扑学就是一个例子，从简单的七桥问题开始，欧拉启动了这次飞跃。提到拓扑学，就提到了庞加莱猜想，然后就提到了俄罗斯的传奇数学家佩尔曼，这个解决了百年难题却拒菲尔兹奖的奇才，就想到了，国人的闹剧。找到佩尔曼和理解他的证明一样困难，很喜欢这句话，真正的数学家，就是要纯粹才能走的更远。希尔伯特是一个有雄心壮志的数学家，和牛顿欧几里得高斯类似，坚信通过自己的努力，可以解开一切谜题。Wemustknow,wewillknow.而我没有这种信念和自信。提到希尔伯特公理体系，就不得不提到哥德尔，提到不确定性，我至今仍有阅读其证明的兴趣。结合图灵停机问题，可计算性，混沌，自由意识，人工智能和决定论，无穷大和超越是一个迷人的论题。哥德尔在获得最大突破之后，不久精神出了问题，就像牛顿晚年寄托与神学类似，即便是坚定的唯物论者，最终也不得不承认，无论是数学物理还是哲学，都不可能获得终极答案。这个身处的世界，归根结底，是不可知的。在奥地利和德国，数学即将死亡，很喜欢这一句，我一直这么认为，即便是数学这种可能是柏拉图实在的理论体系，也不是永恒的。希尔伯特和欧洲的主导地位和500年的世界数学中心，悲剧的离开了。想起希尔伯特的失落绝望和无奈，不禁一阵酸楚，眼眶湿润。普林斯顿是特廷根的新生，在这里，数学也获得了重生，这是另一个辉煌的序幕。作为推动自由美国快速崛起的一个不可忽视的力量，虽然美国的自由不久之后再次被法西斯灵魂附体。科恩对康托连续统假设的研究成果震撼了我一下，在所有人怀疑的时候，哥德尔投了赞成票，再然后，人们普遍的接受了，有两个不同的数学世界，同一个命题的真假可以是不同的。这是再一次的对数学本身的一次反省，就像对存在的反思。不曾想，短短几十年，现代数学取得了许许多多令人惊叹的进展。相比与中国，俄罗斯更盛产数学家，尤其是卓越的数学家，不知道是跟欧拉有直接的关系，许多近代的进展，都是在俄罗斯这里突破的。实际上，关键的是这里有一群绝顶聪明的人，有自由安静舒适的环境，能够把一生的精力奉献给数学，作为自己的信仰，如果中国有这种环境，怒放就只是时间问题了。对近代数学史知之甚少，有必要补习一下了:)迄今为止，数学依旧是探寻世界本质的最有力工具，正如毕达哥拉斯说信仰的，上帝使用数学创造了这个世界。到这里，我似乎有了一个感悟，对我所渴望的，有了更进一步的认识，并不是研究和推动数学，而是了解，借助这个工具来武装自己求索的心。学习实变的经历：人大学生学习实变函数——痛并快乐着大一时选择数学课程，可选课程有三门，最难的叫“数学分析”，辅导员说数学分析难度极大，适合有奥赛背景和未来有研究意愿的理科生，然后有适合普通理科生的难度适中的“数学三”，还有给文科生很容易的“数学四”。我想都没想就选了数学三，算是恪守了中庸之道，虽然高中学文科，起码数学不差。这么一选，要让我后悔一辈子。数三偏重实用，毫无挑战性，学得意兴阑珊。一年下来学够了本科阶段要用的数学，再加上一个饱满的GPA，却总觉得缺些什么——数学的乐趣。可以把某一门数学比作一幢建筑，学习的过程就像在自己脑海中重建它。真正的数学教学让人从地基开始一块一块砖头地搭建，每一个结构的选择，每一块材料的使用，都小心翼翼。施工完成之日，学生不只看到建筑的外形，还因为亲手参与了全部工作而知道这幢建筑的每一个材料在哪，以及为什么会出现在那个位置，好奇心被满足感填充的满满的。其实，最大的乐趣还在于学习的过程，绞尽脑汁去理解每一个抽象的定义，抓住一个奇妙证明背后的逻辑，和自己尝试着解决一个难题。那时，大脑全神贯注，想通过一道墙却处处碰壁，突然灵光一闪，面前出现一扇门，打开门走进去，虽然你知道门后还有一幢墙，墙后还有更多的墙，也高兴得像是全世界都在对你微笑……那种感觉，罗素说，解数学题有过相似经历的人都能体会。大三第一学期，学院的选修课名录上赫然出现一门“实变函数”。选课时同学间流传着一份上届学长留下的各门课的简介，内容包括难易程度、考试方式等等。实变函数的介绍里写着“极度抽象”，难易程度是“极难”。我立刻就选下，不想再因为害怕课程苦难而留下遗憾。实变函数之难超过我想象。班里有一群数学牛人，我等数学菜鸟鸡立鹤群，云山雾绕根本不知道老师在说云为何时，其他同学跟着老师进度点头说是，有的同学还能与老师争论甚至让其下不了台。开始几节课还好，往后听不懂的地方越来越多。想象中的美感很少出现，倒是挫折感像定时的闹钟，每次实变函数课准时响起，阴魂不散。高中时看到一些同学在老师讲题时茫然四顾的表情，心下不以为然，现在知道他们的难受了。只有一个多小时的课常常让人感觉虚脱，下课后脑子里像塞了铅，一堆没消化就吞下去的概念定理。有时心情低落到极点，晚上干脆连书也不看。老师讲得很详细，一步一步地推理，要求也比数学系低了不只几个八度，所以不能怪老师，只能怪自己。怪自己以前对奥赛不屑一顾，怪自己到了高二才喜欢上数学，怪自己大一没选数学分析，就差没怪自己智商太低。智商不高不怪我，只能怪老天。怪罪过后还是要学习，挂科的幽灵已经在我头上徘徊，再这么下去，非挂不可。上课听不懂，回头一个字一个字地啃。作业做不出，借了同学的边抄边理解……某些瞬间还想过放弃，像有的同学一样申请退课，但从来没有真正考虑过这个念头。挫折感虽然很大，但偶尔还能尝到甜头：反复推敲搞明白一个证明的时候，冥思苦想后理解一个定义的时候，误打误撞解出一道题目的时候……就是这些甜蜜的瞬间支持我走下去。一个学期下来实变函数成为我唯一一门跟着老师进度学完的课程，即使在我几乎荒废学业的那个月，给实变函数的几个小时也是每周都少不了的。三个月后，当我再回过头去看那些曾经让我痛苦万分的内容时，它们突然都变得“容易”了，于是，也亲切了。更奇妙的是，上课能听懂了（虽然作业还是做不出……)，搞清楚一个定理的时间变短了，那种数学课上跟着老师一幢幢高墙“破门而入”的快感又出现了。学这门课时所期待的乐趣珊珊来迟，我却只有感激，感激三个月的苦中作乐终于带来了甜蜜的果实，最后几周的学习不再苦难，一切都这么水到渠成自然而然。然后，是大学来我经历过的最难的考试。GPA肯定会掉N个档次，不过结果已经不重要，不是“已经”，是“从来”，从来就不重要——开学之初做出这个选择时我就不在乎那个数字了。在一个数学系学生的博客上看到一句话，我们学数学，不是为了成为柯西，也不是为了成为欧拉，不是为了成为数学世界里那些光辉夺目的名字，而是因为数学很美、很浪漫、很有诗意，这就是我们学习数学的原因。这句话让我由衷地赞叹，往小里说，我之学习实变函数，不是为了好的成绩，不是为了以后有用，而是因为，那些让人觉得即使被关在果壳之中也是宇宙之王的点滴乐趣。这个世界有很多东西很重要，比如奖学金、申请国外学校时的成绩单，但还有一些东西，哪怕没什么用处，也值得我们以那些“重要的东西”为代价去追求，自己真心喜欢的事物即是其中之一。泛函分析“心犯寒”实变函数“学十遍迈入大学的一刻，我相信全国的大学本科教育都一样，从最最最最基础的数学分析和高等代数学起，其实大学本科教育的大多数课程都和数分高代一样，学的是古典的数学，也就是19世纪以前的比较成熟的数学理论。数学分析学了三个学期，共两本书，用的就是国内数学系最常用的那两本。这门学科零零散散的内容很多，但是主要可以归结为两点：实数理论和微积分。个人认为实数理论的部分是数学分析里最有趣的部分，而且内容不多，主要讨论的是实数域上关于实数连续性的六个基本定理的等价关系，这些内容从实际应用的角度可能不是特别吸引人，但是他是整个数学理论的奠基之一，如果哪天有个人能够证明其中的一个是普遍错误的，那么几千年的数学研究就灰飞烟灭了。而且这六个定理的基本之处在于把每一个定理从数学语言转化为自然语言的话，所有人都会觉得它是非常显然的，而且这六个定理中必须有一个是基础，作为公理被世人承认，分析学里没有比他们更加基本的定理了。第二块儿内容就是微积分，这块儿内容从极限谈起，然后顺其自然的引出了连续性、微分和积分。在把最基础的微分和黎曼积分研究清楚以后，人们开始转战无穷的情况，一开始讨论了一下离散的情况——数列和级数，后来发现这个讨论的不够爽，就研究了函数项级数和连续情境——反常积分。我个人认为数学分析里最难的就是讨论各种级数的敛散性，我当然承认如果不讨论级数的敛散性，他的存在毫无价值，但是我对于这种通过无聊的但具有创新性的变换拼凑来证明什么东西实在是不感兴趣。而后，人们发现我们的眼界不能限制在简单的一元情况下，所以就讨论了多重积分、曲面积分等等高维度的情况，这些内容其实跟一维的思想几乎相同，不同的就是要先把高维转化为容易处理的一维情况而已。如果拿北京地铁做个类比的话，我觉得比较合适的就是把数学分析比作地铁一号线，它穿越了最重要的地段，而且直来直去，在它的上面可以衍生出更多更复杂的线路，但是它的作用和重要性不言而喻。本科阶段的高等代数可以说是北京地铁二号线，我觉得这是大学四年数学课里最简单的课，就像二号线一样，长度不长，随便从哪个方向做都能到达所有的站，并且也非常重要、四通八达。高等代数主要也只讲了两个部分，一个是多项式理论，另一个是线性代数理论。多项式理论其实也没讲多少，主要是将以前小学初中高中学的一点点数论中关于自然数整除的理论扩展到了多项式环上。这块儿知识在后来本科课程的学习里感觉用的也不是特别多，所以只记得一些术语、定理的名称，具体内容记不太清了。线性代数理论是高代学习的重点，它可以说是“浅入浅出”——最开始讨论线性方程组的解法，然后引入行列式和矩阵，之后把研究重点放在了矩阵的性质上，其中最有用也是最神奇的就是矩阵的对角化问题（实数域上的），能够对角化的矩阵有着非常好的性质，从而讨论了二次型等等；不能对角化的矩阵也没关系，我们可以争取把它变成若尔当型的形式。从矩阵再进一步衍生，我们就开始探索空间。