数学分析实践论文

由初等数学到高等数学引发的思考第1页共8页数学与信息技术学院由初等数学到高等数学引发的思考题目：由初等数学到高等数学引发的思考专业：数学与应用数学专业班级：12级数本一班学生姓名：焦翠玲指导教师：石秀文日期：2013年1月5日由初等数学到高等数学引发的思考第2页共8页由初等数学到高等数学引发的思考摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。可是现阶段初等数学与高等数学的脱节问题严重，初等数学与高等数学的衔接问题成为我们关注的首要的和基本的问题，当前在校大学师范生亦然也认为高等数学的学习对以后的就业来说完全没有必要。为了转变当前大学生对高等数学的“无用论”问题的看法，更好的来学习高等数学，并用高等数学解决初等数学中的问题，希望可以通过本文，将初等数学与高等数学紧密的联系起来。关键字：初等数学、高等数学、衔接、解决、“无用论”前言：数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。高等数学是初等数学的延伸和发展，而初等数学却是高等数学的基础。作为学习和研究数学的步骤，无疑应该是先学习和掌握初等数学，然后才能学习和应用高等数学。反之，学习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力。但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使我们中的不少人一接触到“数学分析”、“高等代数”等这些数学课程，就对数学专业课产生了畏难、抵触情绪。而且高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学数学感到迷茫，毫无头绪，进而产生了高等数学学习的“无用论”观点，为了解决上述长期存在的问题，我认为研究高等数学与初等数学的衔接问题是一项有效的措施，并使大学生可以尽快地转变自己对待高等数学学习的的观点。一、初等数学与高等数学的衔接问题（一）高中数学新教学大纲对教学内容的调整1.删除的内容A.命题、数学归纳法与数学归纳法应用举例、直线方程的参数式、曲线的交点、利用评一个化简圆锥曲线方程。即原大纲限定选修课供文科、理科选用部分由初等数学到高等数学引发的思考第3页共8页B.选修一中（即原大纲限定选修课供文科、理科选用部分）删去了瞬时速度以及复数单元的全部内容。C.选修二中（即原大纲限定选修课供理科选用部分）删去了连续型随机变量的概率分布、两个重要极限、导数的定义、二阶导数、二阶导数的物理意义、直接积分法、第一类变量代换法、极坐标、极坐标系中的平面图形的面积。2.降低学习要求的内容A.极限中只讲描述性的定义，删去了“数列极限中了解的定义”，并将数列极限的“四则运算”与“函数极限的四则运算”合并成“极限的四则运算”，只要求利用法则求某些极限。B.将“随机变量的期望值和方差”改为“离散型随机变量的期望值和方差”，将“用样本方差估计总体方差、用概率分布估计总体分布、累计频率分布等”改换为“总体的估计、正态分布、线性回归”。C.“直线、平面、简单几何体”有7处“掌握”级要求降为“了解”级要求，特别是论证方面，删去了“利用有关概念进行论证和解决有关的问题”的要求，将“三垂线定理及其逆定理”由“掌握”级改为“了解”级要求，淡化了几何论证的要求。D.降低了“”四种命题、函数的奇偶性和单调性的概念的教学要求，把椭圆、双曲线、抛物线的“几何性质”都改为“简单的几何性质”。（二）高中数学与高等数学教学的建议1.集合、函数与基本初等函数在高中新课标数学教材中共用了52课时讲解这部分内容，是高中数学的教学重点，高考要求也较高，学生掌握也比较牢固。高等数学中应将重复的内容略去不讲或让学生课下自学，而将教学重点放在中学教材不讲或略讲的内容上，如反三角函数部分、复合函数等，另外有意识地培养学生运用数学符号与数学语言的能力，这是初等数学与高等数学教学上的一个难点。2.一元函数微分学A.导数的定义高中数学对导数的定义是通过大量实例，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从而了解导数概念的实际背景，体会导数的思想与内涵，通过函数图象是学生只管了解导数的几何意义。高等数学导数定义要从实际问题抽象出一半的数学定义，用极限定义倒数，将导数看做是增量比的极限，数学体系上更讲究严谨性与完整性。B.导数的运算倒数的运算部分高中只要求根据导数的定义会求简单函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。高等数学要求在此基础上掌握初等函数的一、二阶导数的由初等数学到高等数学引发的思考第4页共8页求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的反函数导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，了解微分的概念与四则运算以及在近似计算中的应用。3.导数的应用高中教材是借助集合直观，并通过实际的背景和具体应用实例是学生了解函数的单调性与导数的关系；结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。在高等数学教学中对于导数的几何意义，导数的四则运算法则，及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值等问题，因为在高中都是要求的重点，是重点强化训练的知识点，所以应一点而过，有关导数的几何意义及简单函数的一阶导数的例题讲一题即可，函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件及函数最大值最小值求法和实际应用是高等数学的教学难点。3.一元函数积分学这部分内容高中数学新课标要求“通过实例从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例直观了解微积分基本定理的含义”。对定积分的计算仅要求会求基本初等函数的积分，对定积分的应用，要求能计算几何中曲边梯形的面积以及物理中变速直线运动的位移和变力做功等基本问题。高等数学教材则是通过定义原函数引出不定积分的数学定义，然后给出不定积分的性质、换元积分法、分部积分法等，对于定积分是从几何与力学问题出发引出定积分的定义，给出定积分的性质，自然引出微积分基本原理，在不定积分和定积分之间搭建桥梁。二、用高等数学解决初等数学问题（一）柯西——施瓦兹不等式应用柯西——施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。设欧式空间，令，，则。（等号当且仅当线性相关时成立）在标准内积下，即，若，则得。例设都是正数，且。求证：证明：在中，使用标准内积。设，，则由柯西不等式，得，（等号当且仅当线性相关时成立）使用柯西——施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧式空间，特别是构造內积运算，并找到两个适当的向量。做到这一点是有困难的，但是只要完成这个构造，余下的问题便很容易解决。构造法就是在解决某个问题时，先构造一种数学对象，这种构造物有时看来与题意无关，但实际上恰与问题有内在的联系，而且在某种条件下正是题目所求，或者使我们可以用另一种方法求解问题，这时构造物就成了一种桥梁。（二）矩阵的应用要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质由初等数学到高等数学引发的思考第5页共8页和定理。例.已知（1）。能不能用一个显式表达呢？在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求出通项。而用初等数学的方法解的话，则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目了然。（三）微积分的应用若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解。例．……这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题），是有关抽象函数不等式的证明题，认真分析研究该题中的（2），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个问题推广：由试题中函数满足的条件（ii）可联想到高等数学中的R.Lipschitz条件：对于上定义的函数和正数，若存在正常数使不等式对都成立，则称函数在上满足阶的R.Lipschitz条件。显然试题中的函数满足阶的R.Lipschitz条件。下面进一步将其推广到满足阶的R.Lipschitz条件推广2.函数定义在上，，且满足阶的R.Lipschitz条件，即存在正常数，使得对于任意的，都有，则必有（四）实例应用例：设21,,0,0xxba均为正数，且1ba，若211bxaxy，212ybxax，求证：1212yyxx证法1：121221yyaxbxaxbx22221212xxababxx2212122abxxabxx22122aabbxx12xx证毕.证法2：11212lglglglgyaxbxaxbx21212lglglglgybxaxbxax两式相加,得121212lglglglglglgyyabxxxx2121lglgxxyy2121xxyy证毕.从中我们不难看出初等数学与高等数学有着如下的联系：由初等数学到高等数学引发的思考第6页共8页三、浅谈当代大学生认为高等数学的“无用论”问题数学的威力有多大？国防科技大学理学院用实践给出了最好的答案——他们创造性地运用一个个公式、算法、方程，破解制约部队战斗力提升的现实问题，推动了战斗力生成模式转变。一个公式改变了一支部队的执勤模式“雷达站为什么要建在偏远山区？”最初，当国防科大理学院数学教授提出这个问题时，不免让人觉得有点“太业余”了。一般来说，担负测控任务的部队，运用的是“测距+测速”国际通用的测控方法，将雷达站建在大山中正是因为“测距”的需要。“如果抛开测距，仅通过测速来定位不行吗？”不行。国际上早有结论：仅凭速度数据无法计算出飞行器的具体位置。然而，该院数学教授却“异想天开”：如果能突破这一传统理论，不仅可以改变部队传统的测控方法，还能让官兵搬出偏远山区。不久，部队送来一次导弹试验的测量参数，请他们帮助进行数据分析处理。当他们将几组测距、测速数据放到计算机中进行运算时，发现其中一个测距雷达并未测到应该测到的数据。怎么办？数学教授们又想到了抛开测距定位的创新思路。于是，他们尝试性地将一个相应的测速参数替代这个测距参数，再算。奇迹出现了——得出了准确的弹道精度。举一反三，他们将这一创新成果应用于一支测控部队，改变了传统雷达测控体制。如今，这支部队的测距雷达站全部搬出偏远山区，遂行测控任务时，官兵们只需用一台车载测速雷达到达指定地点就可以了。一个方程将卫星图像质量提高30%卫星翱翔太空，需要有一双明察秋毫的慧眼。但以前我国遥感卫星的图像质量却有待改进。一个偶然的机会，该校理学院的数学专家了解到这一情况。要解决图像质量问题，首先要了解成像原理。于是，团队成员抱来一大摞成像方面的书籍进行系统学习，又到卫星研制单位、用户单位及各相关部队进行实地调研。渐渐地，他们掌握了遥感成像的原理和特点。专