数学分析第十章定积分应用.

2019/12/251第十章定积分应用0xyay=f(x)bx+dxx2019/12/252定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。第一节定积分的元素法一、问题的提出如何应用定积分解决实际问题_____微元法：2019/12/253回顾曲边梯形面积A的计算过程：badxxf)(把区间[a,b]分成n个小区间,有niiAA1总量A对于[a,b]具有区间可加性,计算Ai的近似值iiixfA)()(1iiixx得A的近似值niiixfA1)(baniiidxxfxfA)()(lim10iixf)(iiixfA)((1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.n个部分量Ai的和.ab0x1xiixx11nxnx0xyy=f(x)12in即A可以分割成2019/12/254把上述步骤略去下标，改写为：(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.计算A的近似值dxxfA)(xy0abxfyxx+dxbaxxfAd)(则称为面积元素并记)(dxxfdA这种方法通常称为微元法或元素法面积微元用A表示[x,x+dx]上的小曲边梯形的面积，取微元任取一个具有代表性的小区间[x,x+dx](区间微元)，2019/12/2551.若总量U非均匀分布在变量x的某个区间[a,b]上;2.总量U有可加性.(1)求微元局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量微元积分得badxxfU)(应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．可用微元法的条件步骤2019/12/256(1)整体问题转化为局部问题；(2)在局部范围内，以常代变，以直代曲；微元法的实质(3)取极限(定积分)由近似值变为精确值。2019/12/257例1.写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式，任一点的线密度是长度的函数。解:建立坐标如图,oxlxx+dx设任意点x的密度为)(xstep1.?],,[dMdxxx则取微元step2.dxx)l0(M质量下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。微元法(ElementMethod)dxx)(变量！关键)(xCx)(2019/12/258第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长2019/12/259平面图形的面积一、直角坐标系情形二、极坐标系情形三、小结思考题2019/12/2510xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积dxxfdA)(由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:dxxfxfdA)]()([12一、直角坐标系情形badxxfA)(xxxxxxbadxxfxfA)]()([122019/12/2511例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解)1,1(),0,0(3)面积元素dA2)选x为积分变量,]1,0[x则dxxxA)(21010333223xx.312xy2yx解方程组22xyxy即这两个抛物线的交点为：xx+dxdxyy)(下上1)求出两抛物线的交点.1,0xx)1,1(dxxx)(212019/12/2512讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素dcdyyyS)]()([左右jjdxxfxfSba)]()([下上dcdyyyS)]()([左右jjdA=[j右(y)j左(y)]dy,选积分变量,2019/12/2513例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.2019/12/2514例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydA.18)24(422dyyyAxy224xyxy224xyy+dyydyyy2422019/12/2515如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytxj曲边梯形的面积（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(txj具有连续导数，)(ty连续.babaydxdxxfA)(.)()(21jttdtttbaydxA2019/12/2516例3求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab2019/12/2517+d.dA.r=j()o.rd二、极坐标系情形曲边扇形是由曲线rj()及射线,所围成的图形图形是曲边扇(梯)形如何化不规则为规则以圆扇形面积近似小曲边扇形的面积，得到面积元素：2019/12/2518+d.dA.r=j()o.rd],[积分变量面积元素以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：jd)(21d2A曲边扇形的面积jd)]([212A2019/12/2519例4:计算阿基米德螺线r=a(a0)上相应于从0到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.oxr=a2a解:取极角为积分变量,变化区间为[0,2],取小区间[,+d]，则面积元素dadA2)(2120222daA203232a3234ajd)]([212A2019/12/2520例5求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.2019/12/2521例5求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a02)2cos21cos223(da心形线也称圆外旋轮线2a2019/12/2522积。所围如图所示图形的面求例2cossin262rroxy6oxy2cossin22求交点6ddS21sin221d2019/12/2523积。所围如图所示图形的面求例2cossin262rrddS21sinddS2cos212ddS2cos21sin2122212360646oxyd62019/12/2524求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结2019/12/2525立体体积•一、旋转体体积•二、已知截面面积的立体体积•三、小结思考题2019/12/2526旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积2019/12/2527如何计算黄瓜的体积？xdxx?dV)(xfyxy0旋转体的体积为dxxfVba2)]([abdxxf2)]([2019/12/2528y例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP2019/12/2529以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxo在],0[h上任取小区间],[dxxx，xhry直线方程为OPxhry2019/12/2530aaoyx例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a星形线也称：圆内旋轮线2019/12/2531xyo323232ayx33sincosayaxa–a02或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线(圆内旋轮线)2019/12/2532转体体积。轴旋转所得旋轴所围图形分别绕与直线求曲线段例yxxyxxy,1,0],1,0[,32轴旋转所得旋转体体积绕x)1(dxxdxydVx42.5410dxx轴旋转所得旋转体体积绕y)2()()(V121旋转体圆柱方法VV.211102ydyVxVydydyxdV222019/12/2533轴旋转所得旋转体体积绕y)2(切片法—积分关于方法y2dyydyxdVy)1()1(2dyyVy)1(102019/12/2534xdxx)(xfyxy0ab)()()(xfxxfxxVy22空心圆柱法—积分关于方法x3dxx32.22310dxxVydxxxfdVy)(2dxxxfxydxdVy)(222))(()(2xxfxxxfVy2019/12/253512222byax轴旋转所得旋转体体积绕x)1(dxxaabdxydVx)(22222dxxaabVax)(222022.342abVx旋转所得旋转体体积绕cy)3(dxcxaabcxaabdVc222222dxxaabcdVc224.2242220abcdxxaabcVac例4求椭圆，分别绕X轴、Y轴、直线y=-c旋转一周所得旋转体的体积。.2abc2019/12/2536例5求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积xV2022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xydxxya)(2202019/12/2537绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxxtttax0)sin(oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx20,)cos1()sin(ttaxttax2)sin(tttax2019/12/2538绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dyyxVay)(2202dyyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633aoyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx2019/12/2539如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来