数学分析考试课件72

第二节分式线性变换2011年6月7、9、14日第二十五、二十六讲1.分式线性变换及其分解2.分式线性变换的共形3.分式线性变换的保交比性4.分式线性变换的保圆周(圆)性5.分式线性变换的保对称性6.线性变换的应用1.分式线性变换概念(1)函数,azbwczd0(7.3),abadbccd称为分式线性变换,简记为().wLz(2)在扩充z平面上补充定义0,(),();dacLLcc0,().cL().wLzz则定义在整个扩充平面上一、分式线性变换及其分解(3)()wLzzw将扩充平面单叶地变成扩充平面()wLz具有逆变换1()(7.4).dwbzLwcwa(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的()wLz因除极点外解析且单叶,从而2.分式线性变换的分解,0,abazbwadbccdczd0,0,cd当时azbabwzczddd,bahkddkzh0azbaczddbcwczdcczdczd当时，111adbaadbccczdczdccczdcczd1abcadccczdczd1abcadcc1abcadcc,cbcadhkac.kh分式线性变换(7.3)是如下变换的复合1,,bcadaczdwcc的复合。(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(I)(0),wkzhk1(II).wz(2)(I)(II)型变换的几何性质(I)wkzh型称为整式线性变换(0,),ikeR若则,iwezh即iwez旋转ww位似(伸缩)wwh平移旋转、伸长(或缩短)、平移变换wzo)()(wzo)()(wzzbwwzbiwezob1(II)wz型变换称为反演变换下列两个映射的复合：,,1wz，是关于实轴的对称变换w,1,1zzz辐角相等，模满足映射成把而,,,放在同一个把wz复平面上。显然，是关于单位圆周的对称变换;111,wzzz因为所以可以把这一变换看成:,CzrO设以圆心为起点,的一条半直线上如果有两PP点与满足关系式:yxzrCo.P.P.A1/wz.2,OPOPr则称这.两点关于圆周对称规定:无穷远点的对称点是圆心O.~OPAOAP::OPOAOAOP21OPOPOA,OPOPz,z与关于单位圆对称.1z解341zwiz411331iziiiz3i34(1)iiiz1(34)izi3i因此可分解为3,,wik1,,zi()()434345,arctan,3iikiiee其中()5.ie的复合.34.1zwiz1试将线性变换分解为简单变换的复合例例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明(0),azbwadbcczd线性变换(7.3)的不动点适合,azbzczd即2()0,(7.7)czdazb上面系数不全为零,.wz否则为恒等变换(1)0,(7.7)c若则有两个根1,2(),2adzc2()4dabc120,,;zz当时有两个相异不动点0,.2adzc当时有一个二重不动点(2)0,(7.7)c若则变为()0,dazb0,(7.7)ad当时有根,bzda这时(7.3)为,abwzdd有不动点;bzzda及0,ad当时0,b必wz(否则为恒等变换)不动点,bzda(7.3).z故这时以为二重不动点1(1)(II)wz对0,,z只要则21dwdzz0，(II)0,.z故在是保角的,二曲线在无穷远点处的交角为就是指定义7.3它们在反演变换下的像曲线在原点的交角为.(II).z从而在扩充平面是保角的(2)(),Iwkzh对dwkdz0，.z在是保角的,z对,w像点为由定义7.3引入两个反演变换二、分式线性变换的共形,(7.8),kh即002||()dhkhdhk从而1k0，(7.8)0;故变换在是保角的(I)z于是在定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注1在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.11,,zw11,kh则.z是保角的,进而在扩充平面是保角的定义7.41234,,,zzzzz扩充平面上有顺序的四个相异点314112344232(,,,):.zzzzzzzzzzzz注2,1.当四点中有一点为时包含此点的项用代替124(,,,)zzz如41421:,1zzzz3.z相当于1234,(,,,).zzzz构成下面的量称为它们的交比,记为:定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明1,2,3,4,iiiazbwiczd设三、分式线性变换的保交比性()(),()()ijijijadbczzwwczdczd则因此1234(,,,)41414242()()()()()()()()adbczzczdczdadbczzczdczd31313232()()()():()()()()adbczzczdczdadbczzczdczd31414232:zzzzzzzz1234(,,,);zzzz注30,adbc由于,,,abcd故知中至少有一个不为,,azbwczd零从而中只依赖于三个复数事实上，只需指定三对对应点:()1,2,3;wLziizwi,bazazbzbaawcdczdczdazaa不妨设0，,,.bcdbcdaaa其中，定理7.9123123,,,,,,zzzz123123(,,,)(,,,)zzzz从(7.3),即可得到且除相差一个常数因子外是唯一的.注4三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是,dczbazw那么，由312123123,,azbazbazb得))(())(())((1111dczdczdczbazdczbazww11()()()()zzadbcczdczd同理，有222()(),()()zzadbcwwczdczd313131()(),()()zzadbcwwczdczd323232()(),()()zzadbcwwczdczd因此，有231321231321::zzzzzzzz由此，我们可以解出分式线性函数。由此也说明这样的分式线性函数也是唯一的。下形式：所求分式线性函数有如外都是有限点，则其次，如果已给各点除3w,)(3zzcbazw那么，由,)(,)(32223111zzcbazwzzcbazw同理有23132121:zzzzzzzz由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。解所求的分式线性变换为(1,0,,)(1,1,,),iwiiz即11:00wiwi(1)1:,(1)1zizi整理得1.3iziwzi1,1,1,0,.iii求将分别变为的分式线性变换例3对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为20(,,),(7.11)AzzzzCACRAC0,A当时表示直线1,(7.11)wz经过反演变换变为0(0),C表直线它表示圆周或直线.2008年6月2、4日第二十七讲四、分式线性变换的保圆周(圆)性定理7.10分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).注5在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.11)可写成0,CAzzzz,欲过0.A则当且仅当注6(7.3),zw将扩充平面上的圆周变为扩充平面上的圆周同时圆被共形变换成圆---分式线性变换的保圆性.()wLz确定圆周所界区域在分式线性变换下01(1),zd取00111(),(),wLzDDLd若则21().DLd否则圆周所界的对应区域的方法d1d2=dc1γd2=dc1d1γD1D2=Dc1ГD2=Dc1Г0z0w0z0wD1=L(d1)D2=L(d1)D11123(2),,dzzz在圆周=上任取三点,当观察者沿123()对应地观察者沿顺次绕时,1231;zzzd顺次绕行时,在观察者前进方向左侧1d在观察者前进方向左侧的区域就是的像.3w.2w.1w.1z.2z..3z1d1()Ld3w.2w.1w.2D2D1D2d2w.1w.3w.1DD2=L(d1)3w.2w.1w.21()DLd1D1D1()Ld1z.2z..3z1d2d3w.2w.1w.2D1DnN=L(n)11,znnd事实上，过作的一段法线使含于，于是顺着1()Lz正交的一段圆弧（或直线），由于在的保角性，1231;()zzznnNLnw看,在观察者左侧的像是过并与123顺着看，也应当在观察者的左侧，因此，1231在左方的区域就是的像.注7在扩充平面上给定区域d及D,其边界都是圆周,则d可共形变换成D.注80(),.wLzCCz要使分式线性变换把圆周变为直线条件是上点变成解(1)因系数为实数,,;zw故为实数时为实数从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面,w分别变为上下两个平面.211zwz4试决定在分式线性例变换下实轴与1zz上半平面及单位圆周的像.21()1iwii13,22iIm0Im0.zzww故将上半平面变为上半平面(2)扩充z平面上的圆周由三个点决定,1,z为确定单位圆周的像123:1,,1,zziz在其上取三点123113:,,;222wwiw它们依次变为1z从而给定的变换将单位圆周变为121131,Re.2222wwiw过点的直线211zwz11,2w21322wi3w定义7.51212,:,zzzaRzz关于圆周对称是指都在212(7.6),zazaRa此外还规定圆心与点也是关于为对称的.注912,:,zzzaR关于圆周对称必要且只要2'21(7.5),Rzaza,a过圆心的同一条射线上且合五、分式线性变换的保对称性21zakza2121zazaza221,Rza则所以2za1()za21;Rza211()()Rzaza“充分性”221,Rzaza由有221Rzaza11zaza221Rza1()zak1()za证明12,,zza,在同一条射线上则21(),0,zakzakRk“必要性”0z.1z.2z.012:,,zzRzz的一对对称点过是关于圆周设21,zz.,0zz切点为的切线作从.20的割线是显然zz010220zzzzzz因为.0Rzz所以