数学分析高等数学导数与微分习题有答案

导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例1试确定a、b之值,使函数,0()1ln(1),0xxaebexfxxxx在内可导,并求例2设31sin,0()0,0xxfxxx证明()fx在0x处连续,可微,且导函数在0x处连续,但'()fx在0x处不可导例3设()fu在ut处可导,求01lim(0)rrrftftaraa为常数例4求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)xxyxxx(２)3arctan2yxx(３)1ln1xyx例5设()x和()x是可导函数,求函数22()()yxx的导数.例6设()yyx由方程22()()yfxxfyx确定,其中()fx是x的可微函数,试求'y.例7已知22'(),''()0.'()()xftdyftytftftdx求例8设()0fx且处处可微,求ln()()()fxdffx.例9求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),yxxxy求(２)44()sincos,.nyxxy求(３)2()21,.nxxyye求(４)()2156nyyxx，求.例10设函数()fx满足:(１)对于任意实数12,xx,有1212()()()fxxfxfx(２)()fx在0x可导,且'(0)1f.证明:()fx可导且'()()fxfx作业题:求平面曲线2yx与1(0)yxx的公切线方程.答案：例1试确定a、b之值,使函数,0()1ln(1),0xxaebexfxxxx在内可导,并求解:欲使()fx在内可导,只需()fx在0x处连续,可导,由00lim()lim()xxxxfxaebeab00011lim()limln(1)lim11xxxfxxxx而()fx在0x处连续,得1ab……………………（1）00()(0)'(0)limlimxxxxfxfaebeabfabxx00(1)(1)limlimxxxxaebexx00limlimxxxxababxx00ln(1)()()(0)'(0)limlimxxxabfxfxfxx20011ln(1)11limlim22xxxxxxx由()fx在0x处可导,得12ab………………………（2）联立(1)与(2)解得14a,34b.所以当14a,34b时,()fx在0x处可导,且213,044'()11ln(1),0(1)xxeexfxxxxxx例2设31sin,0()0,0xxfxxx证明()fx在0x处连续,可微,且导函数在0x处连续,但'()fx在0x处不可导证:因为3001lim()limsin0()xxfxxfxx,故()fx在0x处连续,又320001sin()(0)1'(0)limlimlimsin0,xxxxfxfxfxxxx故()fx在0x处可导,也可微.当0x时,211'()3sincos.fxxxxx20011lim'()lim(3sincos)0'(0).xxfxxxfxx故导函数'()fx在0x处连续,但00'()'(0)11limlim(3sincos).xxfxfxxxx不存在故导函数'()fx在0x处不可导例11设()fu在ut处可导,求01lim(0)rrrftftaraa为常数解:01limrrrftftraa0()()()()limrrrftftftftaar00()()()()11limlim()rrrrftftftftaarraaaa112'()'()'()ftftftaaa例12求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)xxyxxx(２)3arctan2yxx(３)1ln1xyx(１)解:221'()'[(2)]',,xxxyxxyx令111'ln2ln,22lnyyxxxy21'(22ln)xyxx.令2222'1(2),lnln(2),ln22xyyxyxxxy21'(2)(ln2)2xyxx故2'2(1ln)(2)(1ln2)xxyxxxx(２)解:331'(2)'12yxxxx2331321222xxxxx233322(12)2xxxxx(３)解:1lnln1ln11xyxxx2112'111yxxx例13设()x和()x是可导函数,求函数22()()yxx的导数.解:'22221'()()2()()yxxxx22()'()()'()()()xxxxxx例14设()yyx由方程22()()yfxxfyx确定,其中()fx是x的可微函数,试求'y.解:对原式左右求导有22'()'()()'()'2,yyfxyfxfyxfyyx解得22'()()'2()'()xyfxfyyyfxxfy例15已知22'(),''()0.'()()xftdyftytftftdx求解:'()''()'()''()dydyfttftftdttdxdxftdt22()1()dyddxdydtdxdxftdt例16设()0fx且处处可微,求ln()()()fxdffx.解:2'()()'()ln()ln()ln()()'()()()fxfxfxfxfxfxfxdffdxfxfxfx2ln()'()1ln()'()()fxffxfxfxdxfx例17求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),yxxxy求(２)44()sincos,.nyxxy求(３)2()21,.nxxyye求(４)()2156nyyxx，求.(１)解:23655(2)(3)()108(),yxxxpxxpx其中5()px为x的５次多项式,故(6)1086!y(２)解:将原函数变形得22222(sincos)2sincosyxxxx2111cos41sin21222xx1(3cos4)4x,故()114cos(4)4cos(4).422nnnnnyxx(３)解:将原函数变形得22(1)xyex故()22212(2)(1)(2)()(1)(2)nnxnxnxyxenxenne(４)解:将原函数变形得111(2)(3)(2)(3)yxxxx故1111'(1)!(2)(3)nnnynxx例18设函数()fx满足:(１)对于任意实数12,xx,有1212()()()fxxfxfx(２)()fx在0x可导,且'(0)1f.证明:()fx可导且'()()fxfx证:首先()fx不恒为零,否则有'(0)0f,与题设矛盾.于是至少存在一点0x,使0()0fx.这样,由000()(0)()(0)fxfxfxf可得(0)1f.设为内任一点,则00()()()()()'()limlimxxfxxfxfxfxfxfxxx00()1(0)(0)lim()lim()xxfxfxffxfxxx()'(0)()fxffx即()fx可导且'()()fxfx.作业题:求平面曲线2yx与1(0)yxx的公切线方程.解:设公切线分别与曲线2yx和1(0)yxx相切于点2(,)M,11(,)M,并与x轴交于点00(,0)Mx,见图,因为公切线是曲线2yx在点2(,)M处切线,故其斜率为2k………………………………（1）其方程为22()yx,即22yx………(２)或002()yxx,即022yxx……(３)公切线也是曲线1yx在点11(,)M处的切线,故其斜率为21k…………………………（４）其方程为211()yx,即22xy……(５)或0210()yxx,即022xxy….(６)由(２)、(３)可得,02x由(５)、(６)可得,02x所以4由(１)、(４)、(７)可解得2,12.故所求公切线方程为44yx