搜索
第二章初等数学时期（前600年---17世纪中叶）2.1希腊文明时期地中海的灿烂阳光——孕育了著称于世的古希腊文明。其中，希腊数学就是希腊文化中的一个主要分支。希腊数学汇集了巴比伦精湛的算术和埃及神奇的几何学。2.1.1雅典时期的数学（前600—前323）这一时期又可以希波战争为界限划分为前后2个历史时期。希波战争前的希腊数学就是以爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派为主要代表的。希波战争之后，则以巧辩学派，埃利亚学派，原子论学派柏拉图学派的成就为代表。尤其是从BC480年到BC336年，数学史上又称为雅典时期。BC4世纪以后的希腊数学慢慢成为了独立的学科。数学的历史进入了一个新的阶段——初等数学时期。在这一大时期里，希腊各地涌现了许许多多的学派，他们共同作用于希腊数学的发展。1.爱奥尼亚学派——古希腊历史上的第一个学派爱奥尼亚学派是由彼赋盛名的“希腊科学之父”泰勒斯创立。泰勒斯是一个精明的商人，他流转于各地经商，并从巴比伦河埃及等地带回了数学知识，故而创立了爱奥尼亚学派。他在数学上的最著名的业绩是测量金字塔的高度，而划时代的贡献是开始引入了命题证明的思想，因而被认为是希腊几何的先驱。关于泰勒斯，希腊史诗并无明确的记载，但据可靠的材料我们可以推断出下列五大命题的发现时归功于泰勒斯：（1）圆的直径将圆平分。（2）等腰三角形两底角相等。（3）两条直线相交，对顶角相等。（4）有两角夹一边分别相等的两个三角形全等。（5）对半圆的圆周角是直角。其中，第五个命题还被人们称为“泰勒斯定理”。泰勒斯证明了或视图证明这些命题，使得数学从具体的，实验的阶段开始向抽象的，理论的阶段过渡，这是数学史上的一个重大创举。也就是说，泰勒斯对于数学科学的发展的贡献并比仅是存在于他发现了这些定理，更重要的是泰勒斯为它们提供了某种的逻辑证明。从泰勒斯开始，人们已经不再只是利用直观和实验解答数学问题，而是将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他荣获了“第一位数学家”和“论证几何学鼻祖”的美誉，还被尊称为“希腊七贤之首”。2.毕达哥拉斯学派——西方古代美学的开端毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物，二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过著作。毕达哥拉斯于BC570年生于萨摩斯岛，是古希腊哲学家，天文学家和音乐理论学家，他爱好游学。他游历各地，最后定居于意大利半岛南部的克罗多内（古：大希腊），还广收门徒，秘密组织了一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织——毕达哥拉斯学派。这个学派主要是研究“哲学”和“数学”。相传，创造了“哲学”和“数学”这2个词。在几何学方面，毕达哥拉斯学派主要有2大几何学成就，一就是发现和证明了“勾股定理”，后来被欧几里得编入了《几何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。这个伟大的定理导致了无理数的发现。毕达哥拉斯学派的另外一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。尽管人们将许多的集合成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派适中的及基本信条是“万物皆数”。毕达哥拉斯学派崇拜的数主要有整数和两个整数形成的比，即有理数。他们对这些数做出过深入的研究，发现了完全和亲和数，即将抽象的数作为万物的本源，通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。该学派宣称宇宙的万物主宰者也就是上帝是用数来统御宇宙的，认为万物含数。一个毕达哥拉斯学派的成员曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数即不可能来表达也不可能来理解任何事物。”而一切数中最神圣的是10，10在他们的眼中是最完美和最和谐的标志。毕达哥拉斯学派还从数与形的关系出发，研究了二者的结合物——“行数”，且由此得出了一些数列的重要公式，这一系列的数列现在已经成为高阶等差数列的范围。毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，它加强了数的概念中的理论倾向。其次，“万物皆数”的信念，使毕达哥拉斯成为相信自然现象可以通过数字来理解的先驱。他们认为宇宙万物依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而收到了动摇。据柏拉图记载，后来又发现了一些无理数。这些“怪物”深深地困惑着古希腊啦的数学家，希腊数学中出现的这一个逻辑难题被史称为“第一次数学危机”。约1世纪之后，这一危机才由毕达哥拉斯学派成员啊切塔斯的学生欧多克斯提出的新比例理论二暂时得到了消除。毕达哥拉斯在政治中被杀害之后，该学派还存在了2世纪之久。阿尔·西塔斯则是这个学派的晚期的代表人物。他继承和发展了毕达哥拉斯学说。2.1.2亚历山大里亚前期（前336-----前30）这个时期，亦称为黄金时代，科学文化的中心也从雅典转移到埃及的亚历山大里亚。亚历山大里亚城市东南海路交通的枢纽，又经过托勒密王狄加意的经营，慢慢地成为了新的希腊文化的中心，取代了希腊本土的主要要地位。BC146年，古希腊灭亡，希腊数学以罗马为中心，达到了一个巅峰时期，史称“希腊化的科学时代”。在这一时期，以欧几里得.阿基米德和阿波罗尼奥斯的研究为主要代表。同时，他们也成为了希腊数学史上最有影响力的数学家。正是他们让数学开始了相对独立的发展。1.欧几里得及其《原本》欧几里得是希腊论证几何学的集大成者。关于他的生平，我们知之甚少。欧几里得写过不少的数学，天文，光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》，《论剖分》，《现象》，《光学》和《镜面反射》。其中，最出名的莫过于《原本》。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，也是哲学巨著，还是第一次完成了人类对空间的认识。除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相提并论。《几何原本》，共13卷，含有23条定义，5条公理，5条公设，在此基础上，演绎了467个命题。《几何原本》的特点和历史地位：（1）抽象化的内容：它以逻辑为链条的形式化符号系统，数字的形式化方法决定了数学能对纯粹的量进行独立地，理想化地，系统性地进行研究。从抽象程度上看，《几何原本》每一次抽象都是理性思维的结晶，体现了当时人类思维的最高级形态。（2）公理化的方法：《几何原本》是实质公理学的典范。公理学研究的对象，性质和关系是由初始的概念来表示的。该书把亚里斯多德初步总结出来的公理化思想应用于数学，整理，总和发展了希腊古典时期的大量数学知识，它在数学史上是一座不朽的里程碑。（3）封闭式的演绎：它以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础，运用逻辑原则，演绎出几何学中的所有定理。2.阿基米德——数学之神阿基米德是历史上的伟大数学家和伟大力学学者，享有“力学之父”的美称。他有这么一句名言众所周知“给我一个支点，我将翘起整个地球”。作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》数学著作。作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。阿基米德因创造性的成果受到了后人的高度赞扬，与牛顿，高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家，他们和欧拉一起并称为四个最伟大的数学家。除了伟大的牛顿和爱因斯坦，再没有一个人可以像阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”。阿基米德还制作过天文仪器，发明了螺旋水浆。他的独创与论证相结合，计算技巧与逻辑分析相结合，注意理论联系实际的学风独步千年，留芳百世。在数学方面，他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，使得后世的数学家可以依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。在推演这些公式的过程中，他进一步发展了欧多克斯发明的“穷竭法”，就是用内接和外切的直边图形不断地逼近曲边形以用来解决曲面面积问题,即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。他甚至还研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是为纪念他而命名。另外他在《恒河沙数》一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式，避免了冗长的希腊数字。3.阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线轮》阿波罗尼奥斯约BC262年生于佩尔格,在BC190年卒，是一位数学家。它的主要贡献是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论。他注意图形的几何性质，把前辈们的所得到的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，可以收是代表了希腊几何的最高水平，直到17世纪，希腊几何学并无实质性的进步。下面我就来说所《圆锥曲线论》的意义。《圆锥曲线轮》是一部经典巨著，此书集前人之大成，且提出很多新的性质。书中首先证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称，取代了过去的一些叫法。此书可以是把圆锥曲线的性质网罗殆尽，其他人毫无插足之地。2.1.3亚历山大里亚后期（前30-----641）这个时期，亚历山大里亚被阿拉伯人占领。从此，希腊数学开始走向了灭亡之路了，史称亚历山大里亚后期。虽然这一时期，希腊数学慢慢隐没，但是也涌现了一批的杰出数学家。这一时期以海伦，帕波斯，丢番图，海帕西娅等人为主要代表。1.海伦——测量大师海伦海伦生于埃及，是古希腊数学家、力学家、机械学家和测量家。海伦以解决几何测量问题而闻名。著名的“海伦公式”就是由他证明得出的。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。他的主要著作右《量度论》一书。他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。2.丢番图及其丢番图问题丢番图是代数学的创始人之一。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式摆脱了几何的羁绊，在希腊数学中独树一帜，被后世人叫做“代数学之父”。以下就是著名的丢番图问题，它就是丢番图的墓志铭:“过路人！这里安葬着丢番图，下面的题目可以告诉你他的寿命多长。他生命的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年，也走完了人生的旅程。请问，丢番图活了多大的年纪？”这段碑文散发着文学的芳香，是历史留给我们唯一的有关他的讯息。它相当于方程：设：丢番图X岁。x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4x=25/28x+93/28x=9x=84现在人们所说的丢番图方程是指对于整系数的不定方程，求其整数解。3.海帕西娅——最早的女数学家海帕西亚大约于AD370年生于埃及的亚历山大里亚。她10岁就知道利用相似三角形对应边成比例的原理去测量金字塔的高度了。海帕西娅是一位科学家，精通数学、医学、哲学．教会感到她的雄辩才能和崇高的声望足以威胁到他们的存在，于是把她视为眼中钉．AD415年3月的一天，在教长西里耳的主谋下，一群暴徒突然把她从马车上拉到教堂里残酷地杀死．这是历史上一桩骇人听闻的宗教迫害科学家的滔天罪行．人称海帕西娅是世界上第一位女数学家。而她的惨死实为一千古悲剧，也是她的死标志着希腊数学的消亡。2.2东方数学2.1.1中国古代数学的高度发展中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰。1．中算发展的第一次高峰：数学体系的形成秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170年前后）的竹简，共千余支。经初步整理，其中有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且